Упр.22.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) ctg(5°)ctg(15°)ctg(25°)·…·ctg(75°)ctg(85°);
2) tg(20°)+tg(40°)+tg(60°)+…+tg(160°)+tg(180°);
3) sin(0°)+sin(1°)+sin(2°)+…+sin(359°)+sin(360°).

1. Сгруппируем множители попарно:
   $$\ctg 5^\circ \cdot \ctg 85^\circ=\ctg 5^\circ \cdot \tg 5^\circ=1,$$
   $$\ctg 15^\circ \cdot \ctg 75^\circ=\ctg 15^\circ \cdot \tg 15^\circ=1,$$
   $$\ctg 25^\circ \cdot \ctg 65^\circ=1,$$
   и так далее.

   Тогда
   $$ \ctg 5^\circ \cdot \ctg 15^\circ \cdot \ctg 25^\circ \cdot \ldots \cdot \ctg 75^\circ \cdot \ctg 85^\circ=1. $$

2. Используем свойство:
   $$\tg(180^\circ-\alpha)=-\tg \alpha.$$
   Тогда
   $$ \tg 20^\circ+\tg 40^\circ+\tg 60^\circ+\ldots+\tg 160^\circ+\tg 180^\circ $$
   можно разбить на пары:
   $$ \tg 20^\circ+\tg 160^\circ=0,\quad \tg 40^\circ+\tg 140^\circ=0,\quad \ldots $$
   Все пары сокращаются, а
   $$\tg 180^\circ=0.$$

   Значит,
   $$ \tg 20^\circ+\tg 40^\circ+\tg 60^\circ+\ldots+\tg 160^\circ+\tg 180^\circ=0. $$

3. Используем свойство:
   $$\sin(360^\circ-\alpha)=-\sin \alpha.$$
   Тогда
   $$ \sin 0^\circ+\sin 1^\circ+\sin 2^\circ+\ldots+\sin 359^\circ+\sin 360^\circ $$
   разбивается на пары:
   $$ \sin 1^\circ+\sin 359^\circ=0,\quad \sin 2^\circ+\sin 358^\circ=0,\quad \ldots $$
   Кроме того,
   $$\sin 0^\circ=0,\quad \sin 180^\circ=0,\quad \sin 360^\circ=0.$$

   Следовательно,
   $$ \sin 0^\circ+\sin 1^\circ+\sin 2^\circ+\ldots+\sin 359^\circ+\sin 360^\circ=0. $$

Ответ

1) $$1$$; 2) $$0$$; 3) $$0$$.