Упр.22.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Вычислите:
1) $$\operatorname{ctg}(5^\circ)\operatorname{ctg}(15^\circ)\operatorname{ctg}(25^\circ)\cdot\ldots\cdot\operatorname{ctg}(75^\circ)\operatorname{ctg}(85^\circ)$$;
2) $$\operatorname{tg}(20^\circ)+\operatorname{tg}(40^\circ)+\operatorname{tg}(60^\circ)+\ldots+\operatorname{tg}(160^\circ)+\operatorname{tg}(180^\circ)$$;
3) $$\sin(0^\circ)+\sin(1^\circ)+\sin(2^\circ)+\ldots+\sin(359^\circ)+\sin(360^\circ)$$.
1) Сгруппируем множители попарно:
$$\ctg 5^\circ \cdot \ctg 15^\circ \cdot \ctg 25^\circ \cdot \ldots \cdot \ctg 75^\circ \cdot \ctg 85^\circ$$
$$= \ctg 5^\circ \cdot \ctg 15^\circ \cdot \ldots \cdot \ctg 40^\circ \cdot \ctg 45^\circ \cdot \ctg(90^\circ-40^\circ)\cdot \ldots \cdot \ctg(90^\circ-5^\circ)$$
Так как $$\ctg(90^\circ-\alpha)=\tg \alpha,$$ получаем:
$$= \ctg 5^\circ \cdot \ctg 15^\circ \cdot \ldots \cdot \ctg 40^\circ \cdot \ctg 45^\circ \cdot \tg 40^\circ \cdot \ldots \cdot \tg 15^\circ \cdot \tg 5^\circ$$
$$= 1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1 \cdot 1 = 1.$$
2) Используем свойство $$\tg(180^\circ-\alpha)=-\tg \alpha.$$ Тогда
$$\tg 20^\circ+\tg 40^\circ+\tg 60^\circ+\ldots+\tg 160^\circ+\tg 180^\circ$$
$$= \tg 20^\circ+\tg 40^\circ+\ldots+\tg(180^\circ-40^\circ)+\tg(180^\circ-20^\circ)+\tg 180^\circ$$
$$= \tg 20^\circ+\tg 40^\circ+\ldots-\tg 40^\circ-\tg 20^\circ+\tg 180^\circ= \tg 180^\circ=0.$$
3) Сгруппируем слагаемые попарно:
$$\sin 0^\circ+\sin 1^\circ+\sin 2^\circ+\ldots+\sin 359^\circ+\sin 360^\circ$$
$$= \sin 0^\circ+\sin 1^\circ+\sin 2^\circ+\ldots+\sin 180^\circ+\ldots+\sin(360^\circ-1^\circ)+\sin(360^\circ-0^\circ)$$
Так как $$\sin(360^\circ-\alpha)=-\sin \alpha,$$ то
$$= \sin 0^\circ+\sin 1^\circ+\sin 2^\circ+\ldots+\sin 180^\circ+\ldots-\sin 2^\circ-\sin 1^\circ-\sin 0^\circ = \sin 180^\circ=0.$$
Ответ: 1) $$1$$; 2) $$0$$; 3) $$0$$.
