Упр.22.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Докажите тождество:
- $$\frac{\sin(\pi-\alpha)\sin(\alpha+2\pi)}{\tan(\pi+\alpha)\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}=-\cos\alpha.$$
- $$\sin(\pi+x)\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\cos(2\pi+x)\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=-1.$$
- $$\frac{\tan(180^\circ-\alpha)\cos(180^\circ-\alpha)\tan(90^\circ-\alpha)}{\sin(90^\circ+\alpha)\cot(90^\circ+\alpha)\tan(90^\circ+\alpha)}=1.$$
- $$\sin(2\pi-\alpha)\tan\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)-\cos(\pi-\alpha)-\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha.$$
1)
$$\frac{\sin(\pi-a)\sin(a+2\pi)}{\tg(\pi+a)\cos\left(\frac{\pi}{2}+a\right)} = \frac{\sin a\cdot \sin a}{\tg a\cdot(-\sin a)} = \frac{\sin^2 a}{\frac{\sin a}{\cos a}\cdot(-\sin a)} = -\cos a.$$
Тождество доказано.
2)
$$\sin(\pi+x)\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\cos(2\pi+x)\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)$$
$$= (-\sin x)\cdot \sin x+\cos x\cdot(-\cos x)$$
$$=-(\sin^2 x+\cos^2 x)=-1.$$
Тождество доказано.
3)
$$\frac{\tg(180^\circ-a)\cos(180^\circ-a)\tg(90^\circ-a)}{\sin(90^\circ+a)\ctg(90^\circ+a)\tg(90^\circ+a)}$$
$$= \frac{(-\tg a)\cdot(-\cos a)\cdot \ctg a}{\cos a\cdot(-\tg a)\cdot(-\ctg a)} = 1.$$
Тождество доказано.
4)
$$\sin(2\pi-\varphi)\tg\left(\frac{3\pi}{2}-\varphi\right)-\cos(\varphi-\pi)-\sin(\varphi-\pi)$$
$$= (-\sin\varphi)\cdot \ctg\varphi-\cos(\pi-\varphi)+\sin(\pi-\varphi)$$
$$= -\sin\varphi\cdot \frac{\cos\varphi}{\sin\varphi}+ \cos\varphi+\sin\varphi$$
$$= -\cos\varphi+\cos\varphi+\sin\varphi = \sin\varphi.$$
Тождество доказано.
