Упр.21.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Докажите тождество:
- 1) $$\frac{\cos(a+?)+\sin(a)\sin(?)}{\cos(a-?)-\sin(a)\sin(?)}=1$$;
2) $$\frac{\sqrt{2}\cos(a)-2\cos(45^\circ+a)}{2\sin(45^\circ+a)-\sqrt{2}\sin(a)}=\operatorname{tg}(a)$$;
3) $$\frac{\sin(45^\circ+a)-\cos(45^\circ+a)}{\sin(45^\circ+a)+\cos(45^\circ+a)}=\operatorname{tg}(a)$$;
4) $$\frac{\sin(a)+2\sin(60^\circ-a)}{2\cos(30^\circ-a)-\sqrt{3}\cos(a)}=\sqrt{3}\operatorname{ctg}(a)$$.
1)
$$\frac{\cos(a+\beta)+\sin a\sin \beta}{\cos(a-\beta)-\sin a\sin \beta} = \frac{\cos a\cos \beta-\sin a\sin \beta+\sin a\sin \beta}{\cos a\cos \beta+\sin a\sin \beta-\sin a\sin \beta} = \frac{\cos a\cos \beta}{\cos a\cos \beta} =1.$$
Тождество доказано.
2)
$$\frac{\sqrt2\cos a-2\cos(45^\circ+a)}{2\sin(45^\circ+a)-\sqrt2\sin a} = \frac{\sqrt2\cos a-2(\cos45^\circ\cos a-\sin45^\circ\sin a)}{2(\sin45^\circ\cos a+\cos45^\circ\sin a)-\sqrt2\sin a}$$
$$= \frac{\sqrt2\cos a-2\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos a-\frac{\sqrt2}{2}\sin a\right)}{2\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos a+\frac{\sqrt2}{2}\sin a\right)-\sqrt2\sin a} = \frac{\sqrt2\cos a-\sqrt2\cos a+\sqrt2\sin a}{\sqrt2\cos a+\sqrt2\sin a-\sqrt2\sin a} = \frac{\sin a}{\cos a} =\tg a.$$
Тождество доказано.
3)
$$\frac{\sin(45^\circ+a)-\cos(45^\circ+a)}{\sin(45^\circ+a)+\cos(45^\circ+a)} = \frac{(\sin45^\circ\cos a+\cos45^\circ\sin a)-(\cos45^\circ\cos a-\sin45^\circ\sin a)}{(\sin45^\circ\cos a+\cos45^\circ\sin a)+(\cos45^\circ\cos a-\sin45^\circ\sin a)}$$
$$= \frac{\frac{\sqrt2}{2}\cos a+\frac{\sqrt2}{2}\sin a-\frac{\sqrt2}{2}\cos a+\frac{\sqrt2}{2}\sin a}{\frac{\sqrt2}{2}\cos a+\frac{\sqrt2}{2}\sin a+\frac{\sqrt2}{2}\cos a-\frac{\sqrt2}{2}\sin a} = \frac{2\sin a}{2\cos a} =\tg a.$$
Тождество доказано.
4)
$$\frac{\sin a+2\sin(60^\circ-a)}{2\cos(30^\circ-a)-\sqrt3\cos a} = \frac{\sin a+2(\sin60^\circ\cos a-\cos60^\circ\sin a)}{2(\cos30^\circ\cos a+\sin30^\circ\sin a)-\sqrt3\cos a}$$
$$= \frac{\sin a+2\left(\frac{\sqrt3}{2}\cos a-\frac12\sin a\right)}{2\left(\frac{\sqrt3}{2}\cos a+\frac12\sin a\right)-\sqrt3\cos a} = \frac{\sin a+\sqrt3\cos a-\sin a}{\sqrt3\cos a+\sin a-\sqrt3\cos a} = \frac{\sqrt3\cos a}{\sin a} =\sqrt3\,\ctg a.$$
Тождество доказано.
