Упр.21.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) (cos(a+?)+sin(a)sin(?))/(cos(a-?)-sin(a)sin(?))=1;
2) (v2cos(a)-2cos(45°+a))/(2sin(45°+a)-v2sin(a))=tg(a);
3) (sin(45°+a)-cos(45°+a))/(sin(45°+a)+cos(45°+a))=tg a;
4) (sin(a)+2sin(60°-a))/(2cos(30°-a)-v3cos(a))=v3ctg(a).

1. $$\frac{\cos(a+\beta)+\sin a\sin\beta}{\cos(a-\beta)-\sin a\sin\beta}$$
   $$=\frac{\cos a\cos\beta-\sin a\sin\beta+\sin a\sin\beta}{\cos a\cos\beta+\sin a\sin\beta-\sin a\sin\beta}$$
   $$=\frac{\cos a\cos\beta}{\cos a\cos\beta}=1.$$

   Тождество доказано.

2. $$\frac{\sqrt2\cos a-2\cos(45^\circ+a)}{2\sin(45^\circ+a)-\sqrt2\sin a}$$
   $$=\frac{\sqrt2\cos a-2(\cos45^\circ\cos a-\sin45^\circ\sin a)}{2(\sin45^\circ\cos a+\cos45^\circ\sin a)-\sqrt2\sin a}$$
   $$=\frac{\sqrt2\cos a-2\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos a-\frac{\sqrt2}{2}\sin a\right)}{2\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos a+\frac{\sqrt2}{2}\sin a\right)-\sqrt2\sin a}$$
   $$=\frac{\sqrt2\cos a-\sqrt2\cos a+\sqrt2\sin a}{\sqrt2\cos a+\sqrt2\sin a-\sqrt2\sin a}$$
   $$=\frac{\sqrt2\sin a}{\sqrt2\cos a}=\frac{\sin a}{\cos a}=\tg a.$$

   Тождество доказано.

3. $$\frac{\sin(45^\circ+a)-\cos(45^\circ+a)}{\sin(45^\circ+a)+\cos(45^\circ+a)}$$
   $$=\frac{(\sin45^\circ\cos a+\cos45^\circ\sin a)-(\cos45^\circ\cos a-\sin45^\circ\sin a)}{(\sin45^\circ\cos a+\cos45^\circ\sin a)+(\cos45^\circ\cos a-\sin45^\circ\sin a)}$$
   $$=\frac{\frac{\sqrt2}{2}\cos a+\frac{\sqrt2}{2}\sin a-\frac{\sqrt2}{2}\cos a+\frac{\sqrt2}{2}\sin a}{\frac{\sqrt2}{2}\cos a+\frac{\sqrt2}{2}\sin a+\frac{\sqrt2}{2}\cos a-\frac{\sqrt2}{2}\sin a}$$
   $$=\frac{\sqrt2\sin a}{\sqrt2\cos a}=\frac{\sin a}{\cos a}=\tg a.$$

   Тождество доказано.

4. $$\frac{\sin a+2\sin(60^\circ-a)}{2\cos(30^\circ-a)-\sqrt3\cos a}$$
   $$=\frac{\sin a+2(\sin60^\circ\cos a-\cos60^\circ\sin a)}{2(\cos30^\circ\cos a+\sin30^\circ\sin a)-\sqrt3\cos a}$$
   $$=\frac{\sin a+2\left(\frac{\sqrt3}{2}\cos a-\frac12\sin a\right)}{2\left(\frac{\sqrt3}{2}\cos a+\frac12\sin a\right)-\sqrt3\cos a}$$
   $$=\frac{\sin a+\sqrt3\cos a-\sin a}{\sqrt3\cos a+\sin a-\sqrt3\cos a}$$
   $$=\frac{\sqrt3\cos a}{\sin a}=\sqrt3\ctg a.$$

   Тождество доказано.

Ответ

1) $$1$$; 2) $$\tg a$$; 3) $$\tg a$$; 4) $$\sqrt3\ctg a$$.