Упр.21.30 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

При каких значениях $$x$$ значения выражений $$x-1$$, $$1-2x$$ и $$x+7$$ будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите три этих члена прогрессии.

Пусть $$b_1=x-1,\quad b_2=1-2x,\quad b_3=x+7.$$

Так как эти числа являются последовательными членами геометрической прогрессии, то

$$b_2^2=b_1b_3.$$

Получаем:

$$\left(1-2x\right)^2=(x-1)(x+7).$$

Раскроем скобки:

$$1-4x+4x^2=x^2+6x-7.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$3x^2-10x+8=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-10)^2-4\cdot 3\cdot 8=100-96=4,$$

$$x_{1,2}=\frac{10\pm 2}{2\cdot 3}.$$

Тогда

$$x_1=\frac{4}{3},\qquad x_2=2.$$

Найдём соответствующие члены прогрессии.

При $$x=\frac{4}{3}:$$

$$b_1=\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3},\qquad b_2=1-2\cdot \frac{4}{3}=-\frac{5}{3},\qquad b_3=\frac{4}{3}+7=\frac{25}{3}.$$

При $$x=2:$$

$$b_1=2-1=1,\qquad b_2=1-2\cdot 2=-3,\qquad b_3=2+7=9.$$

Ответ: $$\frac{1}{3},\ -\frac{5}{3},\ \frac{25}{3}$$ при $$x=\frac{4}{3}$$; $$1,\ -3,\ 9$$ при $$x=2$$.