Упр.21.30 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 21.30. При каких значениях x значения выражений x-1, 1-2x и x+7 будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите три этих члена прогрессии.

Пусть данные выражения являются последовательными членами геометрической прогрессии:

$$b_1=x-1,\quad b_2=1-2x,\quad b_3=x+7.$$

Для трёх последовательных членов геометрической прогрессии выполняется условие:

$$b_2^2=b_1b_3.$$

Тогда

$$ (1-2x)^2=(x-1)(x+7). $$

Раскроем скобки:

$$ 1-4x+4x^2=x^2+6x-7. $$

Перенесём всё в одну сторону:

$$ 3x^2-10x+8=0. $$

Найдём корни уравнения:

$$ D=(-10)^2-4\cdot 3\cdot 8=100-96=4, $$

$$ x=\frac{10\pm 2}{2\cdot 3}. $$

Получаем:

$$ x_1=\frac{8}{6}=\frac{4}{3},\qquad x_2=\frac{12}{6}=2. $$

Найдём соответствующие члены прогрессии.

1) При $$x=\frac{4}{3}$$:

$$ b_1=\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3},\quad b_2=1-2\cdot \frac{4}{3}=-\frac{5}{3},\quad b_3=\frac{4}{3}+7=\frac{25}{3}. $$

2) При $$x=2$$:

$$ b_1=2-1=1,\quad b_2=1-2\cdot 2=-3,\quad b_3=2+7=9. $$

Ответ

$$\frac{1}{3},\ -\frac{5}{3},\ \frac{25}{3} \quad \text{при } x=\frac{4}{3};$$

$$1,\ -3,\ 9 \quad \text{при } x=2.$$