Упр.21.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) $$\sin a\cos 4a+\cos a\sin 4a=\sin(a+4a)=\sin 5a.$$

2) $$\cos 17^\circ\cos 43^\circ-\sin 17^\circ\sin 43^\circ=\cos(17^\circ+43^\circ)=\cos 60^\circ=\frac12.$$

3) $$\cos\frac{3\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8}-\sin\frac{3\pi}{8}\sin\frac{\pi}{8}=\cos\left(\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi}{8}\right)=\cos\frac{\pi}{2}=0.$$

4) $$\sin a\sin(a+\beta)+\cos a\cos(a+\beta)=\cos\bigl((a+\beta)-a\bigr)=\cos\beta.$$

5) $$\sin 53^\circ\cos 7^\circ-\cos 53^\circ\sin(-7^\circ)=\sin 53^\circ\cos 7^\circ+\cos 53^\circ\sin 7^\circ=\sin(53^\circ+7^\circ)=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}.$$

6) $$\sin(a+\beta)\cos(a-\beta)-\sin(a-\beta)\cos(a+\beta)=\sin\bigl((a+\beta)-(a-\beta)\bigr)=\sin 2\beta.$$

7) $$\bigl(\sin a\cos\beta+\cos a\sin\beta\bigr)^2+\bigl(\cos a\cos\beta-\sin a\sin\beta\bigr)^2$$
$$=\sin^2(a+\beta)+\cos^2(a+\beta)=1.$$

8) $$\frac{\sin 20^\circ\cos 5^\circ-\cos 20^\circ\sin 5^\circ}{\cos 10^\circ\cos 5^\circ-\sin 10^\circ\sin 5^\circ}=\frac{\sin(20^\circ-5^\circ)}{\cos(10^\circ+5^\circ)}=\frac{\sin 15^\circ}{\cos 15^\circ}=\tg 15^\circ.$$

9) $$\cos(a+\beta)+2\sin a\sin\beta$$
$$=\bigl(\cos a\cos\beta-\sin a\sin\beta\bigr)+2\sin a\sin\beta$$
$$=\cos a\cos\beta+\sin a\sin\beta=\cos(a-\beta).$$

Ответ: 1) $$\sin 5a$$; 2) $$\frac12$$; 3) $$0$$; 4) $$\cos\beta$$; 5) $$\frac{\sqrt3}{2}$$; 6) $$\sin 2\beta$$; 7) $$1$$; 8) $$\tg 15^\circ$$; 9) $$\cos(a-\beta)$$.