Упр.21.29 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. При каких значениях $$x$$ значения выражений $$4x+5$$, $$7x-1$$ и $$x^2+2$$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите три этих члена прогрессии.

Пусть $$a_1=4x+5,\quad a_2=7x-1,\quad a_3=x^2+2.$$

Чтобы эти числа были последовательными членами арифметической прогрессии, средний член должен быть равен среднему арифметическому крайних:

$$7x-1=\frac{(4x+5)+(x^2+2)}{2}.$$

Умножим на $$2$$:

$$14x-2=x^2+4x+7.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x^2-10x+9=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=100-36=64,$$

$$x_{1,2}=\frac{10\pm 8}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=1,\quad x_2=9.$$

Найдём члены прогрессии.

При $$x=1$$:

$$4\cdot 1+5=9,\quad 7\cdot 1-1=6,\quad 1^2+2=3.$$

При $$x=9$$:

$$4\cdot 9+5=41,\quad 7\cdot 9-1=62,\quad 9^2+2=83.$$

Ответ: $$x=1$$, числа $$9,\ 6,\ 3$$; $$x=9$$, числа $$41,\ 62,\ 83$$.