Упр.21.29 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 21.29. При каких значениях x значения выражений 4x+5, 7x-1 и x^2+2 будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите три этих члена прогрессии.

Обозначим данные выражения как члены арифметической прогрессии:

$$a_1=4x+5,\quad a_2=7x-1,\quad a_3=x^2+2.$$

Для последовательных членов арифметической прогрессии средний член равен среднему арифметическому крайних:

$$a_2=\frac{a_1+a_3}{2}.$$

Тогда

$$7x-1=\frac{(4x+5)+(x^2+2)}{2}.$$

Умножим на 2:

$$14x-2=x^2+4x+7.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x^2-10x+9=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=10^2-4\cdot 1\cdot 9=100-36=64,$$

$$x_{1,2}=\frac{10\pm 8}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=1,\quad x_2=9.$$

Найдём соответствующие члены прогрессии.

При $$x=1$$:

$$4x+5=4\cdot 1+5=9,$$

$$7x-1=7\cdot 1-1=6,$$

$$x^2+2=1^2+2=3.$$

При $$x=9$$:

$$4x+5=4\cdot 9+5=41,$$

$$7x-1=7\cdot 9-1=62,$$

$$x^2+2=9^2+2=83.$$

Ответ

$$x=1$$ или $$x=9$$; соответствующие члены прогрессии: $$9,\ 6,\ 3$$ и $$41,\ 62,\ 83$$.