Упр.21.28 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Постройте график функции: 1) $$y=\frac{\operatorname{tg}(3x)-\operatorname{tg}(x)}{1+\operatorname{tg}(3x)\operatorname{tg}(x)}$$; 2) $$y=\frac{\operatorname{tg}(x)-1}{\operatorname{tg}(x)+1}$$.
1) Используем формулу
$$\frac{\tg \alpha-\tg \beta}{1+\tg \alpha \tg \beta}=\tg(\alpha-\beta).$$
Тогда
$$y=\frac{\tg 3x-\tg x}{1+\tg 3x\cdot \tg x}=\tg(3x-x)=\tg 2x.$$
Но исходное выражение имеет смысл только при тех $$x$$, для которых определены обе тангенсы и знаменатель не равен нулю:
$$3x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad 1+\tg 3x\cdot \tg x\ne 0.$$
Следовательно, график функции $$y=\tg 2x$$ нужно рассматривать с исключением тех точек, где исходная дробь не определена. Это график тангенса, сжатый по оси $$x$$ в 2 раза.
2) Преобразуем выражение:
$$y=\frac{\tg x-1}{\tg x+1}=\frac{\tg x-\tg \frac{\pi}{4}}{1+\tg x\cdot \tg \frac{\pi}{4}}=\tg\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$
Область определения исходной функции:
$$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in \mathbb Z.$$
Значит, график — это график функции $$y=\tg\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$, сдвинутый вправо на $$\frac{\pi}{4}$$, с исключением точек, где исходное выражение не определено.
Ответ
1) $$y=\tg 2x,$$ при $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\; x\ne \frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z.$$
2) $$y=\tg\left(x-\frac{\pi}{4}\right),\qquad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
