Упр.21.27 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) y=(tg(2x)-tg(x))/(1+tg(2x)tg(x));
2) y=(v3+tg(x))/(1-v3tg(x)).

1) Используем формулу тангенса разности:

$$\frac{\tg 2x-\tg x}{1+\tg 2x\cdot \tg x}=\tg(2x-x)=\tg x.$$

Но исходное выражение имеет смысл только при

$$1+\tg 2x\cdot \tg x\ne 0,$$

а также при существовании $\tg 2x$ и $\tg x$:

$$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad 2x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n.$$

Из условия

$$2x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n \;\Rightarrow\; x\ne \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

Значит, график функции совпадает с графиком $$y=\tg x$$, но с исключёнными точками, где выражение не определено:

$$x\ne \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in \mathbb Z.$$

2) Преобразуем выражение, используя формулу тангенса суммы:

$$\frac{\sqrt3+\tg x}{1-\sqrt3\,\tg x}=\frac{\tg \frac{\pi}{3}+\tg x}{1-\tg \frac{\pi}{3}\cdot \tg x}=\tg\left(x+\frac{\pi}{3}\right).$$

Область определения задаётся условием

$$1-\sqrt3\,\tg x\ne 0,$$

то есть

$$\tg x\ne \frac{1}{\sqrt3}=\tg \frac{\pi}{6}.$$

Следовательно,

$$x\ne \frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in \mathbb Z.$$

Итак, график функции совпадает с графиком $$y=\tg\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$$, но в точках $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n$$ функция не определена.

Ответ

1) $$y=\tg x,\qquad x\ne \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$y=\tg\left(x+\frac{\pi}{3}\right),\qquad x\ne \frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$