Упр.21.26 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) v3cos(a)-sin(a); 2) v2sin(a)+v6cos(a).

1) Преобразуем выражение:

$$\sqrt{3}\cos a-\sin a=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos a-\frac12\sin a\right).$$

Используем формулу:

$$\cos\left(a+\frac{\pi}{6}\right)=\cos a\cos\frac{\pi}{6}-\sin a\sin\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos a-\frac12\sin a.$$

Тогда

$$\sqrt{3}\cos a-\sin a=2\cos\left(a+\frac{\pi}{6}\right).$$

Так как $$-1\le \cos\left(a+\frac{\pi}{6}\right)\le 1,$$ то

$$-2\le 2\cos\left(a+\frac{\pi}{6}\right)\le 2.$$

Наименьшее значение равно $$-2.$$

2) Преобразуем выражение:

$$\sqrt{2}\sin a+\sqrt{6}\cos a=2\sqrt{2}\left(\frac12\sin a+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos a\right).$$

Используем формулу:

$$\sin\left(a+\frac{\pi}{3}\right)=\sin a\cos\frac{\pi}{3}+\cos a\sin\frac{\pi}{3}=\frac12\sin a+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos a.$$

Тогда

$$\sqrt{2}\sin a+\sqrt{6}\cos a=2\sqrt{2}\sin\left(a+\frac{\pi}{3}\right).$$

Так как $$-1\le \sin\left(a+\frac{\pi}{3}\right)\le 1,$$ то

$$-2\sqrt{2}\le 2\sqrt{2}\sin\left(a+\frac{\pi}{3}\right)\le 2\sqrt{2}.$$

Наименьшее значение равно $$-2\sqrt{2}.$$

Ответ

1) $$-2$$; 2) $$-2\sqrt{2}$$.