Упр.21.25 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Найдите наибольшее значение выражения:
   1) $$\sin(a)-\sqrt{3}\cos(a)$$;
   2) $$\sin(a)+\cos(a)$$.

1) $$\sin a-\sqrt{3}\cos a=2\left(\frac12\sin a-\frac{\sqrt3}{2}\cos a\right)=2\left(\cos\frac{\pi}{3}\sin a-\sin\frac{\pi}{3}\cos a\right)=2\sin\left(a-\frac{\pi}{3}\right).$$

Так как $$-1\le \sin\left(a-\frac{\pi}{3}\right)\le 1,$$ то

$$-2\le 2\sin\left(a-\frac{\pi}{3}\right)\le 2.$$

Наибольшее значение равно $$2.$$

2) $$\sin a+\cos a=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin a+\frac{\sqrt2}{2}\cos a\right)=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}\sin a+\sin\frac{\pi}{4}\cos a\right)=\sqrt2\sin\left(a+\frac{\pi}{4}\right).$$

Так как $$-1\le \sin\left(a+\frac{\pi}{4}\right)\le 1,$$ то

$$-\sqrt2\le \sqrt2\sin\left(a+\frac{\pi}{4}\right)\le \sqrt2.$$

Наибольшее значение равно $$\sqrt2.$$

Ответ: 1) $$2$$; 2) $$\sqrt2$$.