Упр.21.24 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   1) $$\cos(a+?)\cos(a-?)=\cos^2(a)-\sin^2(?)$$;
   2) $$\mathrm{tg}(a+?)-(\mathrm{tg}(a)+\mathrm{tg}(?))-\mathrm{tg}(a+?)\mathrm{tg}(a)\mathrm{tg}(?)=0$$.

1) Преобразуем левую часть:

$$\cos(a+\beta)\cos(a-\beta)= (\cos a\cos\beta-\sin a\sin\beta)(\cos a\cos\beta+\sin a\sin\beta)$$

$$=\cos^2 a\cos^2\beta-\sin^2 a\sin^2\beta$$

$$=\cos^2 a(1-\sin^2\beta)-(1-\cos^2 a)\sin^2\beta$$

$$=\cos^2 a-\cos^2 a\sin^2\beta-\sin^2\beta+\cos^2 a\sin^2\beta =\cos^2 a-\sin^2\beta.$$

Следовательно, тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть:

$$\tg(a+\beta)-(\tg a+\tg\beta)-\tg(a+\beta)\tg a\tg\beta$$

$$=\tg(a+\beta)(1-\tg a\tg\beta)-(\tg a+\tg\beta)$$

$$=\frac{\tg a+\tg\beta}{1-\tg a\tg\beta}(1-\tg a\tg\beta)-(\tg a+\tg\beta)$$

$$=(\tg a+\tg\beta)-(\tg a+\tg\beta)=0.$$

Следовательно, тождество доказано.

Ответ: оба тождества верны.