Упр.21.23 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   1) $$\sin(a+?)\sin(a-?)=\sin^2(a)-\sin^2(?)$$;
   2) $$(\sin(a)-\sin(?))^2+(\cos(a)+\cos(?))^2-2=2\cos(a+?)$$;
   3) $$\frac{\mathrm{tg}^2(a)-\mathrm{tg}^2(?)}{1-\mathrm{tg}^2(a)\mathrm{tg}^2(?)}=\mathrm{tg}(a+?)\mathrm{tg}(a-?)$$;
   4) $$\frac{\mathrm{tg}(a)+\mathrm{tg}(?)}{\mathrm{tg}(a+?)}+\frac{\mathrm{tg}(a)-\mathrm{tg}(?)}{\mathrm{tg}(a-?)}+2\mathrm{tg}^2(a)=\frac{2}{\cos^2(a)}$$.

1) $$\sin(a+\beta)\sin(a-\beta)=\sin^2 a-\sin^2 \beta.$$

Преобразуем левую часть:

$$\sin(a+\beta)\sin(a-\beta)= (\sin a\cos \beta+\cos a\sin \beta)(\sin a\cos \beta-\cos a\sin \beta)$$

$$=\sin^2 a\cos^2 \beta-\cos^2 a\sin^2 \beta$$

$$=\sin^2 a(1-\sin^2 \beta)-(1-\sin^2 a)\sin^2 \beta$$

$$=\sin^2 a-\sin^2 a\sin^2 \beta-\sin^2 \beta+\sin^2 a\sin^2 \beta =\sin^2 a-\sin^2 \beta.$$

Тождество доказано.

2) $$(\sin a-\sin \beta)^2+(\cos a+\cos \beta)^2-2=2\cos(a+\beta).$$

Преобразуем левую часть:

$$(\sin a-\sin \beta)^2+(\cos a+\cos \beta)^2-2=$$

$$=(\sin^2 a-2\sin a\sin \beta+\sin^2 \beta)+(\cos^2 a+2\cos a\cos \beta+\cos^2 \beta)-2$$

$$=(\sin^2 a+\cos^2 a)+(\sin^2 \beta+\cos^2 \beta)+2(\cos a\cos \beta-\sin a\sin \beta)-2$$

$$=1+1+2\cos(a+\beta)-2=2\cos(a+\beta).$$

Тождество доказано.

3) $$\frac{\tg^2 a-\tg^2 \beta}{1-\tg^2 a\cdot \tg^2 \beta}=\tg(a+\beta)\tg(a-\beta).$$

Преобразуем левую часть:

$$\frac{\tg^2 a-\tg^2 \beta}{1-\tg^2 a\cdot \tg^2 \beta} = \frac{\tg a-\tg \beta}{1+\tg a\cdot \tg \beta}\cdot \frac{\tg a+\tg \beta}{1-\tg a\cdot \tg \beta}$$

$$=\tg(a-\beta)\cdot \tg(a+\beta).$$

Тождество доказано.

4) $$\frac{\tg a+\tg \beta}{\tg(a+\beta)}+\frac{\tg a-\tg \beta}{\tg(a-\beta)}+2\tg^2 a=\frac{2}{\cos^2 a}.$$

Преобразуем левую часть:

$$\frac{\tg a+\tg \beta}{\tg(a+\beta)}+\frac{\tg a-\tg \beta}{\tg(a-\beta)}+2\tg^2 a=$$

$$=(\tg a+\tg \beta)\cdot \frac{1-\tg a\cdot \tg \beta}{\tg a+\tg \beta} +(\tg a-\tg \beta)\cdot \frac{1+\tg a\cdot \tg \beta}{\tg a-\tg \beta} +2\tg^2 a$$

$$=(1-\tg a\cdot \tg \beta)+(1+\tg a\cdot \tg \beta)+2\tg^2 a =2+2\tg^2 a$$

$$=2(1+\tg^2 a)=\frac{2}{\cos^2 a}.$$

Тождество доказано.