Упр.21.23 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) sin(a+?)sin(a-?)=sin^2(a)-sin^2(?);
2) (sin(a)-sin(?))^2+(cos(a)+cos(?))^2-2=2cos(a+?);
3) (tg^2(a)-tg^2(?))/(1-tg^2(a)tg^2(?))=tg(a+?)tg(a-?);
4) (tg(a)+tg(?))/tg(a+?)+(tg(a)-tg(?))/tg(a-?)+2tg^2(a)=2/cos^2(a).

1. $$\sin(a+\beta)\sin(a-\beta)$$
   $$=(\sin a\cos\beta+\cos a\sin\beta)(\sin a\cos\beta-\cos a\sin\beta)$$
   $$=\sin^2 a\cos^2\beta-\cos^2 a\sin^2\beta$$
   $$=\sin^2 a(1-\sin^2\beta)-(1-\sin^2 a)\sin^2\beta$$
   $$=\sin^2 a-\sin^2 a\sin^2\beta-\sin^2\beta+\sin^2 a\sin^2\beta$$
   $$=\sin^2 a-\sin^2\beta.$$
   Тождество доказано.

2. $$(\sin a-\sin\beta)^2+(\cos a+\cos\beta)^2-2$$
   $$=(\sin^2 a-2\sin a\sin\beta+\sin^2\beta)+(\cos^2 a+2\cos a\cos\beta+\cos^2\beta)-2$$
   $$=(\sin^2 a+\cos^2 a)+(\sin^2\beta+\cos^2\beta)+2(\cos a\cos\beta-\sin a\sin\beta)-2$$
   $$=1+1+2\cos(a+\beta)-2$$
   $$=2\cos(a+\beta).$$
   Тождество доказано.

3. $$\frac{\tg^2 a-\tg^2\beta}{1-\tg^2 a\cdot\tg^2\beta}$$
   $$=\frac{\tg a-\tg\beta}{1+\tg a\cdot\tg\beta}\cdot\frac{\tg a+\tg\beta}{1-\tg a\cdot\tg\beta}$$
   $$=\tg(a-\beta)\cdot\tg(a+\beta).$$
   Тождество доказано.

4. $$\frac{\tg a+\tg\beta}{\tg(a+\beta)}+\frac{\tg a-\tg\beta}{\tg(a-\beta)}+2\tg^2 a$$
   $$=(\tg a+\tg\beta)\cdot\frac{1-\tg a\cdot\tg\beta}{\tg a+\tg\beta}+(\tg a-\tg\beta)\cdot\frac{1+\tg a\cdot\tg\beta}{\tg a-\tg\beta}+2\tg^2 a$$
   $$=(1-\tg a\cdot\tg\beta)+(1+\tg a\cdot\tg\beta)+2\tg^2 a$$
   $$=2+2\tg^2 a$$
   $$=2(1+\tg^2 a)=\frac{2}{\cos^2 a}.$$
   Тождество доказано.

Ответ

1) $$\sin(a+\beta)\sin(a-\beta)=\sin^2 a-\sin^2\beta$$
2) $$ (\sin a-\sin\beta)^2+(\cos a+\cos\beta)^2-2=2\cos(a+\beta)$$
3) $$\frac{\tg^2 a-\tg^2\beta}{1-\tg^2 a\cdot\tg^2\beta}=\tg(a+\beta)\tg(a-\beta)$$
4) $$\frac{\tg a+\tg\beta}{\tg(a+\beta)}+\frac{\tg a-\tg\beta}{\tg(a-\beta)}+2\tg^2 a=\frac{2}{\cos^2 a}$$