Упр.21.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 21.20. Докажите тождество ctg(a)+ctg(?)=sin(a+?)/(sin(a)sin(?)).

Преобразуем правую часть тождества:

$$\frac{\sin(a+\beta)}{\sin a \cdot \sin \beta}=\frac{\sin a \cdot \cos \beta+\cos a \cdot \sin \beta}{\sin a \cdot \sin \beta}.$$

Разделим дробь на сумму двух дробей:

$$\frac{\sin a \cdot \cos \beta}{\sin a \cdot \sin \beta}+\frac{\cos a \cdot \sin \beta}{\sin a \cdot \sin \beta}=\frac{\cos \beta}{\sin \beta}+\frac{\cos a}{\sin a}=\ctg \beta+\ctg a.$$

Следовательно,

$$\ctg a+\ctg \beta=\frac{\sin(a+\beta)}{\sin a \cdot \sin \beta}.$$

Тождество доказано.

Ответ

$$\ctg a+\ctg \beta=\frac{\sin(a+\beta)}{\sin a \cdot \sin \beta}.$$