Упр.21.21 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Упростите выражение:

1. $$\cos\frac{a}{2}\ctg\frac{a}{4}+\sin\frac{a}{2}$$;
2. $$\ctg(a)-\ctg(2a)$$;
3. $$\frac{1}{1+\tg(a)\tg(2a)}$$.

1) $$\cos\frac a2\cdot \ctg\frac a4+\sin\frac a2=\cos\frac a2\cdot \frac{\cos\frac a4}{\sin\frac a4}+\sin\frac a2$$

$$=\frac{\cos\frac a2\cdot \cos\frac a4+\sin\frac a2\cdot \sin\frac a4}{\sin\frac a4}=\frac{\cos\left(\frac a2-\frac a4\right)}{\sin\frac a4}=\frac{\cos\frac a4}{\sin\frac a4}=\ctg\frac a4.$$

Ответ: $$\ctg\frac a4.$$

2) $$\ctg a-\ctg 2a=\frac{\cos a}{\sin a}-\frac{\cos 2a}{\sin 2a}$$

$$=\frac{\cos a\cdot \sin 2a-\cos 2a\cdot \sin a}{\sin a\cdot \sin 2a}=\frac{\sin(2a-a)}{\sin a\cdot \sin 2a}=\frac{\sin a}{\sin a\cdot \sin 2a}=\frac1{\sin 2a}.$$

Ответ: $$\frac1{\sin 2a}.$$

3) $$\frac1{1+\tg a\cdot \tg 2a}=\frac1{1+\frac{\sin a}{\cos a}\cdot \frac{\sin 2a}{\cos 2a}}$$

$$=\frac{\cos a\cdot \cos 2a}{\cos a\cdot \cos 2a+\sin a\cdot \sin 2a}=\frac{\cos a\cdot \cos 2a}{\cos(2a-a)}=\frac{\cos a\cdot \cos 2a}{\cos a}=\cos 2a.$$

Ответ: $$\cos 2a.$$