Упр.21.21 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) cos(a/2)ctg(a/4)+sin(a/2);
2) ctg(a)-ctg(2a);
3) 1/(1+tg(a)tg(2a)).

1. $$\cos \frac a2 \cdot \ctg \frac a4 + \sin \frac a2 = \cos \frac a2 \cdot \frac{\cos \frac a4}{\sin \frac a4} + \sin \frac a2$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{\cos \frac a2 \cdot \cos \frac a4 + \sin \frac a2 \cdot \sin \frac a4}{\sin \frac a4}$$

   По формуле $$\cos x \cos y + \sin x \sin y = \cos(x-y)$$ получаем:
   $$\frac{\cos\left(\frac a2-\frac a4\right)}{\sin \frac a4} = \frac{\cos \frac a4}{\sin \frac a4} = \ctg \frac a4$$

2. $$\ctg a — \ctg 2a = \frac{\cos a}{\sin a} — \frac{\cos 2a}{\sin 2a}$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{\cos a \cdot \sin 2a — \cos 2a \cdot \sin a}{\sin a \cdot \sin 2a}$$

   В числителе используем формулу $$\sin(x-y)=\sin x \cos y-\cos x \sin y$$:
   $$\frac{\sin(2a-a)}{\sin a \cdot \sin 2a} = \frac{\sin a}{\sin a \cdot \sin 2a} = \frac{1}{\sin 2a}$$

3. $$\frac{1}{1+\tg a \tg 2a} = \frac{1}{1+\frac{\sin a}{\cos a}\cdot \frac{\sin 2a}{\cos 2a}}$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{1}{\frac{\cos a \cdot \cos 2a+\sin a \cdot \sin 2a}{\cos a \cdot \cos 2a}}$$

   Тогда
   $$\frac{\cos a \cdot \cos 2a}{\cos a \cdot \cos 2a+\sin a \cdot \sin 2a}$$

   По формуле $$\cos(x-y)=\cos x \cos y+\sin x \sin y$$:
   $$\frac{\cos a \cdot \cos 2a}{\cos(2a-a)} = \frac{\cos a \cdot \cos 2a}{\cos a} = \cos 2a$$

Ответ

1) $$\ctg \frac a4$$; 2) $$\frac{1}{\sin 2a}$$; 3) $$\cos 2a$$.