Упр.21.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Найдите: 1) $$\sin 15^\circ$$; 2) $$\sin 105^\circ$$; 3) $$\operatorname{ctg} 105^\circ$$.

1) $$\sin 15^\circ=\sin(60^\circ-45^\circ)=\sin 60^\circ\cdot \cos 45^\circ-\cos 60^\circ\cdot \sin 45^\circ$$

$$=\frac{\sqrt3}{2}\cdot \frac{\sqrt2}{2}-\frac12\cdot \frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}.$$

Ответ: $$\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}.$$

2) $$\sin 105^\circ=\sin(60^\circ+45^\circ)=\sin 60^\circ\cdot \cos 45^\circ+\cos 60^\circ\cdot \sin 45^\circ$$

$$=\frac{\sqrt3}{2}\cdot \frac{\sqrt2}{2}+\frac12\cdot \frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.$$

Ответ: $$\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.$$

3) $$\ctg 105^\circ=\frac{1}{\tg 105^\circ}=\frac{1}{\tg(60^\circ+45^\circ)}=\frac{1-\tg 60^\circ\cdot \tg 45^\circ}{\tg 60^\circ+\tg 45^\circ}$$

$$=\frac{1-\sqrt3\cdot 1}{\sqrt3+1}=\frac{1-\sqrt3}{1+\sqrt3}=\frac{(1-\sqrt3)^2}{(1+\sqrt3)(1-\sqrt3)}$$

$$=\frac{1-2\sqrt3+3}{1-3}=\frac{4-2\sqrt3}{-2}=\sqrt3-2.$$

Ответ: $$\sqrt3-2.$$