Упр.21.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) sin 15°; 2) sin 105°; 3) ctg 105°.

1) $$\sin 15^\circ=\sin(60^\circ-45^\circ)=\sin 60^\circ\cdot \cos 45^\circ-\cos 60^\circ\cdot \sin 45^\circ$$

$$=\frac{\sqrt3}{2}\cdot \frac{\sqrt2}{2}-\frac12\cdot \frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}.$$

2) $$\sin 105^\circ=\sin(60^\circ+45^\circ)=\sin 60^\circ\cdot \cos 45^\circ+\cos 60^\circ\cdot \sin 45^\circ$$

$$=\frac{\sqrt3}{2}\cdot \frac{\sqrt2}{2}+\frac12\cdot \frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.$$

3) $$\ctg 105^\circ=\frac{1}{\tg 105^\circ}=\frac{1}{\tg(60^\circ+45^\circ)}$$

$$=\frac{1-\tg 60^\circ\cdot \tg 45^\circ}{\tg 60^\circ+\tg 45^\circ} =\frac{1-\sqrt3}{\sqrt3+1}.$$

Рационализуем знаменатель:

$$\frac{1-\sqrt3}{\sqrt3+1}\cdot \frac{1-\sqrt3}{1-\sqrt3} =\frac{(1-\sqrt3)^2}{1-3} =\frac{1-2\sqrt3+3}{-2} =\sqrt3-2.$$

Ответ

$$1)\ \frac{\sqrt6-\sqrt2}{4};\quad 2)\ \frac{\sqrt6+\sqrt2}{4};\quad 3)\ \sqrt3-2.$$