Упр.21.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 21.14. Найдите sin(a-?), если sin(a)=-15/17, ? < a < 3?/2 и cos(?)=7/25, 3?/2 < ? < 2?.

Подробный ответ

Так как $$\sin a=-\frac{15}{17}$$ и $$\pi<a<\frac{3\pi}{2},$$ то угол $$a$$ лежит в третьей четверти, значит $$\cos a<0$$.

Найдём $$\cos a$$:

$$ \cos a=-\sqrt{1-\sin^2 a} =-\sqrt{1-\left(\frac{15}{17}\right)^2} =-\sqrt{1-\frac{225}{289}} =-\sqrt{\frac{64}{289}} =-\frac{8}{17}. $$

Так как $$\cos \beta=\frac{7}{25}$$ и $$\frac{3\pi}{2}<\beta<2\pi,$$ то угол $$\beta$$ лежит в четвёртой четверти, значит $$\sin \beta<0$$.

Найдём $$\sin \beta$$:

$$ \sin \beta=-\sqrt{1-\cos^2 \beta} =-\sqrt{1-\left(\frac{7}{25}\right)^2} =-\sqrt{1-\frac{49}{625}} =-\sqrt{\frac{576}{625}} =-\frac{24}{25}. $$

Теперь вычислим:

$$ \sin(a-\beta)=\sin a\cos \beta-\cos a\sin \beta. $$

Подставим значения:

$$ \sin(a-\beta)=\left(-\frac{15}{17}\right)\cdot\frac{7}{25} -\left(-\frac{8}{17}\right)\cdot\left(-\frac{24}{25}\right) =-\frac{105}{425}-\frac{192}{425} =-\frac{297}{425}. $$