Упр.21.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Найдите $$\sin(\alpha-\beta)$$, если $$\sin\alpha=-\frac{15}{17}$$, $$\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$$ и $$\cos\beta=\frac{7}{25}$$, $$\frac{3\pi}{2}<\beta<2\pi$$.

Так как $$\sin a=-\frac{15}{17}$$ и $$\pi<a<\frac{3\pi}{2},$$ то угол $$a$$ лежит в третьей четверти, значит $$\cos a<0$$.

Найдём $$\cos a$$:

$$\cos a=-\sqrt{1-\sin^2 a} =-\sqrt{1-\left(\frac{15}{17}\right)^2} =-\sqrt{1-\frac{225}{289}} =-\sqrt{\frac{64}{289}} =-\frac{8}{17}.$$

Так как $$\cos \beta=\frac{7}{25}$$ и $$\frac{3\pi}{2}<\beta<2\pi,$$ то угол $$\beta$$ лежит в четвёртой четверти, значит $$\sin \beta<0$$.

Найдём $$\sin \beta$$:

$$\sin \beta=-\sqrt{1-\cos^2 \beta} =-\sqrt{1-\left(\frac{7}{25}\right)^2} =-\sqrt{1-\frac{49}{625}} =-\sqrt{\frac{576}{625}} =-\frac{24}{25}.$$

Теперь вычислим:

$$\sin(a-\beta)=\sin a\cos \beta-\cos a\sin \beta$$

$$\sin(a-\beta)=\left(-\frac{15}{17}\right)\left(\frac{7}{25}\right)-\left(-\frac{8}{17}\right)\left(-\frac{24}{25}\right) =-\frac{105}{425}-\frac{192}{425} =-\frac{297}{425}.$$

Ответ

$$-\frac{297}{425}$$