Упр.21.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Найдите $$\cos(\alpha+\beta)$$, если $$\cos\alpha=\frac{3}{5}$$, $$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$$, $$\cos\beta=-\frac{4}{5}$$, $$\frac{\pi}{2}<\beta<\pi$$.

Так как $$\cos a=\frac{3}{5}$$ и $$0<a<\frac{\pi}{2},$$ то угол $$a$$ лежит в первой четверти, значит

$$\sin a=\sqrt{1-\cos^2 a}=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}.$$

Так как $$\cos \beta=-\frac{4}{5}$$ и $$\frac{\pi}{2}<\beta<\pi,$$ то угол $$\beta$$ лежит во второй четверти, значит

$$\sin \beta=\sqrt{1-\cos^2 \beta}=\sqrt{1-\left(-\frac{4}{5}\right)^2}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}.$$

Теперь найдём значение выражения:

$$\cos(a+\beta)=\cos a\cdot \cos \beta-\sin a\cdot \sin \beta$$

$$\cos(a+\beta)=\frac{3}{5}\cdot\left(-\frac{4}{5}\right)-\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{5} =-\frac{12}{25}-\frac{12}{25} =-\frac{24}{25}.$$

Ответ: $$-\frac{24}{25}$$