Упр.21.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Докажите тождество:

1. 1. $$\frac{\sin(a+?)-\sin(?)\cos(a)}{\sin(a-?)+\sin(?)\cos(a)}=1$$
   2. $$\frac{\sqrt{2}\cos(a)-2\sin(45^\circ-a)}{2\sin(60^\circ+a)-\sqrt{3}\cos(a)}=\sqrt{2}$$
   3. $$\frac{2\sin(a)\cos(?)-\sin(a-?)}{\cos(a)\cos(?)-\sin(a)\sin(?) }=\operatorname{tg}(a+?)$$

1)

$$\frac{\sin(a+\beta)-\sin\beta\cdot\cos a}{\sin(a-\beta)+\sin\beta\cdot\cos a} = \frac{(\sin a\cdot\cos\beta+\cos a\cdot\sin\beta)-\sin\beta\cdot\cos a}{(\sin a\cdot\cos\beta-\cos a\cdot\sin\beta)+\sin\beta\cdot\cos a}$$
$$= \frac{\sin a\cdot\cos\beta}{\sin a\cdot\cos\beta} =1.$$

Тождество доказано.

2)

$$\frac{\sqrt{2}\cos a-2\sin(45^\circ-a)}{2\sin(60^\circ+a)-\sqrt{3}\cos a} = \frac{\sqrt{2}\cos a-2(\sin45^\circ\cdot\cos a-\cos45^\circ\cdot\sin a)}{2(\sin60^\circ\cdot\cos a+\cos60^\circ\cdot\sin a)-\sqrt{3}\cos a}$$
$$= \frac{\sqrt{2}\cos a-2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a\right)}{2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos a+\frac{1}{2}\sin a\right)-\sqrt{3}\cos a} = \frac{\sqrt{2}\cos a-\sqrt{2}\cos a+\sqrt{2}\sin a}{\sqrt{3}\cos a+\sin a-\sqrt{3}\cos a}$$
$$= \frac{\sqrt{2}\sin a}{\sin a} =\sqrt{2}.$$

Тождество доказано.

3)

$$\frac{2\sin a\cdot\cos\beta-\sin(a-\beta)}{\cos a\cdot\cos\beta-\sin a\cdot\sin\beta} = \frac{2\sin a\cdot\cos\beta-(\sin a\cdot\cos\beta-\cos a\cdot\sin\beta)}{\cos(a+\beta)}$$
$$= \frac{\sin a\cdot\cos\beta+\cos a\cdot\sin\beta}{\cos(a+\beta)} = \frac{\sin(a+\beta)}{\cos(a+\beta)} = \tg(a+\beta).$$

Тождество доказано.