Упр.20.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Найдите значения тригонометрических функций аргумента $$a$$, если: 1) $$\cos a=\frac{1}{2}$$; 3) $$\mathrm{tg}\,a=2$$ и $$\pi

1) Если $$\cos a=\frac12,$$ то

$$\sin a=\pm\sqrt{1-\cos^2 a} =\pm\sqrt{1-\left(\frac12\right)^2} =\pm\sqrt{\frac34} =\pm\frac{\sqrt3}{2}.$$

$$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a} =\frac{\pm \frac{\sqrt3}{2}}{\frac12} =\pm\sqrt3, \qquad \ctg a=\frac{1}{\tg a}=\pm\frac{\sqrt3}{3}.$$

2) Если $$\sin a=0{,}6$$ и $$\frac{\pi}{2}

$$\cos a=-\sqrt{1-\sin^2 a} =-\sqrt{1-0{,}6^2} =-\sqrt{0{,}64} =-0{,}8.$$

$$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a} =\frac{0{,}6}{-0{,}8} =-0{,}75=-\frac34, \qquad \ctg a=\frac{1}{\tg a}=-\frac43.$$

3) Если $$\tg a=2$$ и $$\pi<a<\frac{3\pi}{2},$$ то угол лежит в третьей четверти, значит $$\sin a<0$$ и $$\cos a<0.$$ Используем формулу

$$\cos a=-\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 a}} =-\frac{1}{\sqrt{1+2^2}} =-\frac{1}{\sqrt5} =-\frac{\sqrt5}{5}.$$

$$\sin a=\tg a\cdot \cos a =2\cdot\left(-\frac{\sqrt5}{5}\right) =-\frac{2\sqrt5}{5}, \qquad \ctg a=\frac{1}{\tg a}=\frac12.$$

4) Если $$\ctg a=-\frac43$$ и $$\frac{3\pi}{2}<a<2\pi,$$ то угол лежит в четвертой четверти, значит $$\sin a<0$$ и $$\cos a>0.$$ Тогда

$$\sin a=-\frac{1}{\sqrt{1+\ctg^2 a}} =-\frac{1}{\sqrt{1+\left(-\frac43\right)^2}} =-\frac{1}{\sqrt{1+\frac{16}{9}}} =-\frac{1}{\sqrt{\frac{25}{9}}} =-\frac35.$$

$$\cos a=\ctg a\cdot \sin a =-\frac43\cdot\left(-\frac35\right) =\frac45, \qquad \tg a=\frac{1}{\ctg a} =\frac{1}{-\frac43} =-\frac34.$$

Ответ

1) $$\sin a=\pm\frac{\sqrt3}{2},\ \tg a=\pm\sqrt3,\ \ctg a=\pm\frac{\sqrt3}{3}.$$
2) $$\cos a=-0{,}8,\ \tg a=-\frac34,\ \ctg a=-\frac43.$$
3) $$\cos a=-\frac{\sqrt5}{5},\ \sin a=-\frac{2\sqrt5}{5},\ \ctg a=\frac12.$$
4) $$\sin a=-\frac35,\ \cos a=\frac45,\ \tg a=-\frac34.$$