Упр.20.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Упростите выражение:
1) $$\left(1+\operatorname{ctg}\ ?\right)^2+\left(1-\operatorname{ctg}\ ?\right)^2$$;
5) $$\frac{\operatorname{tg}^2(a)}{1+\operatorname{tg}^2(a)}\cdot\frac{1+\operatorname{ctg}^2(a)}{\operatorname{ctg}^2(a)}$$;
2) $$\sin^2(a)\cos^2(a)\left(\operatorname{tg}^2(a)+\operatorname{ctg}^2(a)+2\right)$$;
6) $$\frac{1+\operatorname{tg}a}{1+\operatorname{ctg}a}$$;
3) $$\operatorname{tg}x+\frac{\cos x}{1+\sin x}$$;
7) $$\cos^4(a)+\sin^2(a)\cos^2(a)-\cos^2(a)-1$$;
4) $$\frac{\cos\ ?}{1-\sin\ ?}+\frac{1-\sin\ ?}{\cos\ ?}$$;
8) $$\operatorname{tg}(-a)\operatorname{ctg}(a)+\sin^2(-a)$$.
$$(1+\ctg \beta)^2+(1-\ctg \beta)^2 =1+2\ctg \beta+\ctg^2 \beta+1-2\ctg \beta+\ctg^2 \beta =2+2\ctg^2 \beta$$
$$2+2\ctg^2 \beta=2(1+\ctg^2 \beta)=\frac{2}{\sin^2 \beta}$$
$$\sin^2 a\cos^2 a(\tg^2 a+\ctg^2 a+2)$$
$$=\sin^2 a\cos^2 a\left(\frac{1}{\cos^2 a}+\frac{1}{\sin^2 a}\right) =\sin^2 a+\cos^2 a=1$$
$$\tg x+\frac{\cos x}{1+\sin x} =\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{1+\sin x}$$
$$=\frac{\sin x(1+\sin x)+\cos^2 x}{\cos x(1+\sin x)} =\frac{\sin x+\sin^2 x+\cos^2 x}{\cos x(1+\sin x)} =\frac{1+\sin x}{\cos x(1+\sin x)} =\frac{1}{\cos x}$$
$$\frac{\cos \beta}{1-\sin \beta}+\frac{1-\sin \beta}{\cos \beta} =\frac{\cos^2 \beta+(1-\sin \beta)^2}{(1-\sin \beta)\cos \beta}$$
$$=\frac{\cos^2 \beta+1-2\sin \beta+\sin^2 \beta}{(1-\sin \beta)\cos \beta} =\frac{2-2\sin \beta}{(1-\sin \beta)\cos \beta} =\frac{2}{\cos \beta}$$
$$\frac{\tg^2 a}{1+\tg^2 a}\cdot \frac{1+\ctg^2 a}{\ctg^2 a} =\frac{\tg^2 a}{1+\tg^2 a}\cdot \frac{(1+\ctg^2 a)\tg^2 a}{\ctg^2 a\cdot \tg^2 a}$$
$$=\frac{\tg^2 a}{1+\tg^2 a}\cdot \frac{\tg^2 a+1}{1} =\tg^2 a$$
$$\frac{1+\tg a}{1+\ctg a} =\frac{(1+\tg a)\tg a}{(1+\ctg a)\tg a} =\frac{(1+\tg a)\tg a}{\tg a+1} =\tg a$$
$$\cos^4 a+\sin^2 a\cos^2 a-\cos^2 a-1 =\cos^4 a+(1-\cos^2 a)\cos^2 a-\cos^2 a-1$$
$$=\cos^4 a+\cos^2 a-\cos^4 a-\cos^2 a-1=-1$$
$$\tg(-a)\ctg a+\sin^2(-a) =-\tg a\cdot \ctg a+\sin^2 a =\sin^2 a-1$$
$$=-(1-\sin^2 a)=-\cos^2 a$$
Ответ: 1) $$\frac{2}{\sin^2 \beta}$$; 2) $$1$$; 3) $$\frac{1}{\cos x}$$; 4) $$\frac{2}{\cos \beta}$$; 5) $$\tg^2 a$$; 6) $$\tg a$$; 7) $$-1$$; 8) $$-\cos^2 a$$.
