Упр.20.23 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) y=7/(x+5) убывает на промежутке (-5; +?);
2) y=6x-x^2 возрастает на промежутке (-?; 3].

1) Рассмотрим функцию $$y=\frac{7}{x+5}.$$

Пусть $$x_2>x_1>-5.$$ Тогда

$$ y(x_2)-y(x_1)=\frac{7}{x_2+5}-\frac{7}{x_1+5} =\frac{7(x_1+5)-7(x_2+5)}{(x_2+5)(x_1+5)} =\frac{7(x_1-x_2)}{(x_2+5)(x_1+5)}. $$

Так как $$x_2>x_1,$$ то $$x_1-x_2<0,$$ а при $$x_1>-5$$ и $$x_2>-5$$ имеем $$x_1+5>0,$$ $$x_2+5>0.$$ Значит,

$$ y(x_2)-y(x_1)<0. $$

Следовательно, функция убывает на промежутке $$(-5;+\infty).$$

2) Рассмотрим функцию $$y=6x-x^2.$$

Пусть $$x_1<x_2\le 3.$$ Тогда

$$ y(x_2)-y(x_1)=(6x_2-x_2^2)-(6x_1-x_1^2) =6(x_2-x_1)-(x_2^2-x_1^2) $$
$$ =(x_2-x_1)\bigl(6-(x_2+x_1)\bigr). $$

Так как $$x_1<x_2\le 3,$$ то $$x_2-x_1>0,$$ а также $$x_1+x_2<6,$$ значит $$6-(x_1+x_2)>0.$$ Поэтому

$$ y(x_2)-y(x_1)>0. $$

Следовательно, функция возрастает на промежутке $$(-\infty;3].$$

Ответ

1) $$(-5;+\infty)$$; 2) $$(-\infty;3].$$