Упр.20.23 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Докажите, что функция:
   1) $$y=\frac{7}{x+5}$$ убывает на промежутке $$(-5;+\text{?})$$;
   2) $$y=6x-x^2$$ возрастает на промежутке $$(-\text{?};3]$$.

1) Пусть $$x_2>x_1>-5.$$ Тогда

$$y(x_2)-y(x_1)=\frac{7}{x_2+5}-\frac{7}{x_1+5} =\frac{7(x_1+5)-7(x_2+5)}{(x_2+5)(x_1+5)} =\frac{7(x_1-x_2)}{(x_2+5)(x_1+5)}.$$

Так как $$x_1-x_2<0,$$ а $$x_2+5>0,$$ $$x_1+5>0,$$ то

$$y(x_2)-y(x_1)<0.$$

Следовательно, функция $$y=\frac{7}{x+5}$$ убывает на промежутке $$(-5;+\infty).$$

2) Пусть $$x_1<x_2\le 3.$$ Тогда

$$y(x_2)-y(x_1)=(6x_2-x_2^2)-(6x_1-x_1^2) =6(x_2-x_1)-(x_2^2-x_1^2)$$

$$=(x_2-x_1)\bigl(6-(x_2+x_1)\bigr).$$

Так как $$x_2-x_1>0,$$ а из условий $$x_1<x_2\le 3$$ следует $$x_1+x_2<6,$$ то

$$6-(x_1+x_2)>0.$$

Значит,

$$y(x_2)-y(x_1)>0.$$

Следовательно, функция $$y=6x-x^2$$ возрастает на промежутке $$(-\infty;3].$$