Упр.20.22 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Упростите выражение $$\sin(a)-\sqrt{\operatorname{ctg}^2(a)-\cos^2(a)}$$, если $$180^\circ

Так как $$180^\circ<a<360^\circ,$$ то угол лежит в III или IV четверти, значит $$\sin a<0.$$

Упростим выражение:

$$\sin a-\sqrt{\ctg^2 a-\cos^2 a}$$

Преобразуем подкоренное выражение:

$$\ctg^2 a-\cos^2 a=\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}-\cos^2 a=\frac{\cos^2 a-\sin^2 a\cos^2 a}{\sin^2 a}$$

$$=\frac{\cos^2 a(1-\sin^2 a)}{\sin^2 a}=\frac{\cos^4 a}{\sin^2 a}.$$

Тогда

$$\sqrt{\ctg^2 a-\cos^2 a}=\sqrt{\frac{\cos^4 a}{\sin^2 a}}=\frac{\cos^2 a}{|\sin a|}.$$

Так как $$\sin a<0,$$ то $$|\sin a|=-\sin a,$$ и поэтому

$$\sqrt{\ctg^2 a-\cos^2 a}=-\frac{\cos^2 a}{\sin a}.$$

Следовательно,

$$\sin a-\sqrt{\ctg^2 a-\cos^2 a}=\sin a+\frac{\cos^2 a}{\sin a}=\frac{\sin^2 a+\cos^2 a}{\sin a}=\frac{1}{\sin a}.$$

Ответ

$$\frac{1}{\sin a}$$