Упр.20.22 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 20.22. Упростите выражение sin(a)-v(ctg^2(a)-cos^2(a)), если 180° < a < 360°.

Так как $$180^\circ<a<360^\circ,$$ то угол принадлежит III или IV четверти, значит $$\sin a<0.$$

Упростим выражение:

$$ \sin a-\sqrt{\ctg^2 a-\cos^2 a} =\sin a-\sqrt{\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}-\cos^2 a} $$

$$ =\sin a-\sqrt{\frac{\cos^2 a-\sin^2 a\cdot \cos^2 a}{\sin^2 a}} =\sin a-\sqrt{\frac{\cos^2 a(1-\sin^2 a)}{\sin^2 a}} $$

$$ =\sin a-\sqrt{\frac{\cos^4 a}{\sin^2 a}} =\sin a-\frac{\cos^2 a}{|\sin a|} $$

Так как $$\sin a<0,$$ то $$|\sin a|=-\sin a,$$ поэтому

$$ \sin a-\frac{\cos^2 a}{|\sin a|} =\sin a+\frac{\cos^2 a}{\sin a} =\frac{\sin^2 a+\cos^2 a}{\sin a} =\frac{1}{\sin a}. $$

Ответ

$$\frac{1}{\sin a}$$