Упр.20.21 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) v(cos^2(?)(1+tg(?))+sin^2(?)(1+ctg(?))), если ? < ? < 3?/2; 2) v(1-sin^2(a)-cos^2(a)cos^2(?))/(tg(?)ctg(a)), если ? < a < 3?/2, ?/2 < ? < ?.

1. $$\sqrt{\cos^2\beta\,(1+\tg\beta)+\sin^2\beta\,(1+\ctg\beta)}$$

   Заменим тангенс и котангенс дробями:
   $$\sqrt{\cos^2\beta\left(1+\frac{\sin\beta}{\cos\beta}\right)+\sin^2\beta\left(1+\frac{\cos\beta}{\sin\beta}\right)}$$

   $$=\sqrt{\cos^2\beta+\sin\beta\cos\beta+\sin^2\beta+\sin\beta\cos\beta}$$

   $$=\sqrt{\cos^2\beta+2\sin\beta\cos\beta+\sin^2\beta}$$

   $$=\sqrt{(\cos\beta+\sin\beta)^2}=|\cos\beta+\sin\beta|$$

   Так как $$\pi<\beta<\frac{3\pi}{2},$$ то $$\cos\beta<0$$ и $$\sin\beta<0,$$ значит
   $$\cos\beta+\sin\beta<0.$$

   Следовательно,
   $$|\cos\beta+\sin\beta|=-\cos\beta-\sin\beta.$$

2. $$\frac{\sqrt{1-\sin^2 a-\cos^2 a\cdot\cos^2\beta}}{\tg\beta\cdot\ctg a}$$

   Используем тождество $$1-\sin^2 a=\cos^2 a$$:
   $$\frac{\sqrt{\cos^2 a-\cos^2 a\cdot\cos^2\beta}}{\tg\beta\cdot\ctg a}$$

   $$=\frac{\sqrt{\cos^2 a\,(1-\cos^2\beta)}}{\tg\beta\cdot\ctg a} =\frac{\sqrt{\cos^2 a\cdot\sin^2\beta}}{\tg\beta\cdot\ctg a}$$

   $$=\frac{|\cos a\cdot\sin\beta|}{\tg\beta\cdot\ctg a}$$

   Так как $$\pi<a<\frac{3\pi}{2},$$ то $$\cos a<0,$$ а при $$\frac{\pi}{2}<\beta<\pi$$ имеем $$\sin\beta>0.$$ Значит,
   $$|\cos a\cdot\sin\beta|=-\cos a\cdot\sin\beta.$$

   Кроме того,
   $$\tg\beta\cdot\ctg a=\frac{\sin\beta}{\cos\beta}\cdot\frac{\cos a}{\sin a}.$$

   Тогда
   $$\frac{-\cos a\cdot\sin\beta}{\frac{\sin\beta}{\cos\beta}\cdot\frac{\cos a}{\sin a}} =-\sin a\cdot\cos\beta.$$

Ответ

1) $$-\cos\beta-\sin\beta$$; 2) $$-\sin a\cdot\cos\beta$$.