Упр.20.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) tg^2(a)+ctg^2(a); 2) tg^3(a)+ctg^3(a).

Обозначим $$\tg a+\ctg a=b.$$

1) Используем формулу квадрата суммы:

$$ (\tg a+\ctg a)^2=\tg^2 a+2\tg a\cdot \ctg a+\ctg^2 a. $$

Так как $$\tg a\cdot \ctg a=1,$$ то

$$ \tg^2 a+\ctg^2 a=(\tg a+\ctg a)^2-2=b^2-2. $$

2) Используем формулу суммы кубов:

$$ (\tg a+\ctg a)^3=\tg^3 a+3\tg^2 a\cdot \ctg a+3\tg a\cdot \ctg^2 a+\ctg^3 a. $$

Тогда

$$ \tg^3 a+\ctg^3 a=(\tg a+\ctg a)^3-3\tg a\cdot \ctg a(\tg a+\ctg a). $$

Подставим $$\tg a\cdot \ctg a=1$$ и $$\tg a+\ctg a=b$$:

$$ \tg^3 a+\ctg^3 a=b^3-3b=b(b^2-3). $$

Ответ

1) $$b^2-2$$; 2) $$b(b^2-3)$$.