Упр.20.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) sin(a)cos(a); 2) sin^3(a)+cos^3(a); 3) sin^4(a)+cos^4(a).

1. Используем формулу:

   $$\left(\sin a+\cos a\right)^2=\sin^2 a+\cos^2 a+2\sin a\cos a=1+2\sin a\cos a.$$

   Так как $$\sin a+\cos a=b,$$ то

   $$b^2=1+2\sin a\cos a,$$

   откуда

   $$\sin a\cos a=\frac{b^2-1}{2}.$$

2. Найдём сумму кубов:

   $$\sin^3 a+\cos^3 a=(\sin a+\cos a)^3-3\sin a\cos a(\sin a+\cos a).$$

   Подставим $$\sin a+\cos a=b$$ и $$\sin a\cos a=\frac{b^2-1}{2}:$$

   $$\sin^3 a+\cos^3 a=b^3-3\cdot \frac{b^2-1}{2}\cdot b=\frac{2b^3-3b^3+3b}{2}=\frac{b(3-b^2)}{2}.$$

3. Найдём сумму четвёртых степеней:

   $$\sin^4 a+\cos^4 a=(\sin^2 a+\cos^2 a)^2-2\sin^2 a\cos^2 a.$$

   Так как $$\sin^2 a+\cos^2 a=1,$$ а

   $$\sin^2 a\cos^2 a=\left(\sin a\cos a\right)^2=\left(\frac{b^2-1}{2}\right)^2,$$

   то

   $$\sin^4 a+\cos^4 a=1-2\left(\frac{b^2-1}{2}\right)^2=1-\frac{(b^2-1)^2}{2}.$$

   Раскроем скобки:

   $$1-\frac{b^4-2b^2+1}{2}=\frac{2-b^4+2b^2-1}{2}=\frac{1+2b^2-b^4}{2}.$$

Ответ

$$\sin a\cos a=\frac{b^2-1}{2},\quad \sin^3 a+\cos^3 a=\frac{b(3-b^2)}{2},\quad \sin^4 a+\cos^4 a=\frac{1+2b^2-b^4}{2}.$$