Упр.20.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Найдите значение выражения:

1. $$\frac{5\cos(a)+6\sin(a)}{3\sin(a)-7\cos(a)}$$, если $$\operatorname{tg}(a)=\frac{1}{2}$$;
2. $$\frac{\sin(a)\cos(a)}{\sin^2(a)-\cos^2(a)}$$, если $$\operatorname{ctg}(a)=\frac{3}{4}$$.

1) $$\frac{5\cos a+6\sin a}{3\sin a-7\cos a}=\frac{\frac{5\cos a}{\cos a}+\frac{6\sin a}{\cos a}}{\frac{3\sin a}{\cos a}-\frac{7\cos a}{\cos a}}=\frac{5+6\tg a}{3\tg a-7}.$$

Если $$\tg a=\frac12,$$ то

$$\frac{5+6\tg a}{3\tg a-7}=\frac{5+6\cdot \frac12}{3\cdot \frac12-7}=\frac{5+3}{\frac32-7}=\frac{8}{-\frac{11}{2}}=-\frac{16}{11}=-1\frac{5}{11}.$$

2) $$\frac{\sin a\cos a}{\sin^2 a-\cos^2 a}=\frac{\frac{\sin a\cos a}{\sin^2 a}}{\frac{\sin^2 a-\cos^2 a}{\sin^2 a}}=\frac{\ctg a}{1-\ctg^2 a}.$$

Если $$\ctg a=\frac34,$$ то

$$\frac{\ctg a}{1-\ctg^2 a}=\frac{\frac34}{1-\left(\frac34\right)^2}=\frac{\frac34}{1-\frac{9}{16}}=\frac{\frac34}{\frac{7}{16}}=\frac34\cdot\frac{16}{7}=\frac{12}{7}=1\frac57.$$

Ответ: 1) $$-1\frac{5}{11}$$; 2) $$1\frac57$$.