Упр.20.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Докажите тождество $$2(\sin^6(a)+\cos^6(a))-3(\sin^4(a)+\cos^4(a))=-1$$.

Преобразуем левую часть, используя тождество $$\sin^2 a+\cos^2 a=1.$$

$$\begin{aligned} 2(\sin^6 a+\cos^6 a)-3(\sin^4 a+\cos^4 a) &=2\sin^6 a+2\cos^6 a-3\sin^4 a-3\cos^4 a \\ &=\bigl(2\sin^6 a-3\sin^4 a\bigr)+\bigl(2\cos^6 a-3\cos^4 a\bigr). \end{aligned}$$

Выразим степени косинуса через $$\sin a$$:

$$\begin{aligned} 2\cos^6 a&=2(1-\sin^2 a)^3=2(1-3\sin^2 a+3\sin^4 a-\sin^6 a),\\ 3\cos^4 a&=3(1-\sin^2 a)^2=3(1-2\sin^2 a+\sin^4 a). \end{aligned}$$

Тогда

$$\begin{aligned} 2\cos^6 a-3\cos^4 a &=2(1-3\sin^2 a+3\sin^4 a-\sin^6 a)-3(1-2\sin^2 a+\sin^4 a)\\ &=-1+3\sin^4 a-2\sin^6 a. \end{aligned}$$

Подставим это в исходное выражение:

$$\begin{aligned} 2(\sin^6 a+\cos^6 a)-3(\sin^4 a+\cos^4 a) &=(2\sin^6 a-3\sin^4 a)+(-1+3\sin^4 a-2\sin^6 a)\\ &=-1. \end{aligned}$$

Тождество доказано.

Ответ

$$-1$$