Упр.20.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) sin^4(a)+cos^4(a)-sin^6(a)-cos^6(a)=sin^2(a)cos^2(a);
2) sin^6(a)+cos^6(a)+3sin^2(a)cos^2(a)=1.

1) Преобразуем левую часть, используя формулы $$1-\sin^2 a=\cos^2 a$$ и $$1-\cos^2 a=\sin^2 a$$:

$$ \sin^4 a+\cos^4 a-\sin^6 a-\cos^6 a $$
$$ =\sin^4 a(1-\sin^2 a)+\cos^4 a(1-\cos^2 a) $$
$$ =\sin^4 a\cos^2 a+\cos^4 a\sin^2 a $$
$$ =\sin^2 a\cos^2 a(\sin^2 a+\cos^2 a) $$
$$ =\sin^2 a\cos^2 a. $$

Тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть, используя $$\sin^2 a+\cos^2 a=1$$:

$$ \sin^6 a+\cos^6 a+3\sin^2 a\cos^2 a $$
$$ =\sin^6 a+(\cos^2 a)^3+3\sin^2 a\cos^2 a $$
$$ =\sin^6 a+(1-\sin^2 a)^3+3\sin^2 a(1-\sin^2 a) $$
$$ =\sin^6 a+\left(1-3\sin^2 a+3\sin^4 a-\sin^6 a\right)+3\sin^2 a-3\sin^4 a $$
$$ =1. $$

Тождество доказано.

Ответ

1) $$\sin^4 a+\cos^4 a-\sin^6 a-\cos^6 a=\sin^2 a\cos^2 a$$;
2) $$\sin^6 a+\cos^6 a+3\sin^2 a\cos^2 a=1$$.