Упр.20.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   1) $$\sin^4(a)+\cos^4(a)-\sin^6(a)-\cos^6(a)=\sin^2(a)\cos^2(a);$$
   2) $$\sin^6(a)+\cos^6(a)+3\sin^2(a)\cos^2(a)=1.$$

1) Преобразуем левую часть:

$$\sin^4 a+\cos^4 a-\sin^6 a-\cos^6 a=\sin^4 a(1-\sin^2 a)+\cos^4 a(1-\cos^2 a).$$

Так как $$1-\sin^2 a=\cos^2 a$$ и $$1-\cos^2 a=\sin^2 a,$$ получаем

$$\sin^4 a\cos^2 a+\cos^4 a\sin^2 a=\sin^2 a\cos^2 a(\sin^2 a+\cos^2 a).$$

Но $$\sin^2 a+\cos^2 a=1,$$ значит

$$\sin^2 a\cos^2 a(\sin^2 a+\cos^2 a)=\sin^2 a\cos^2 a.$$

Тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть:

$$\sin^6 a+\cos^6 a+3\sin^2 a\cos^2 a=\sin^6 a+(\cos^2 a)^3+3\sin^2 a\cos^2 a.$$

Используем $$\cos^2 a=1-\sin^2 a$$:

$$\sin^6 a+(1-\sin^2 a)^3+3\sin^2 a(1-\sin^2 a).$$

Раскроем скобки:

$$\sin^6 a+\left(1-3\sin^2 a+3\sin^4 a-\sin^6 a\right)+3\sin^2 a-3\sin^4 a=1.$$

Получаем

$$1=1.$$

Тождество доказано.