Упр.20.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) sin^4(a)cos^2(a)+sin^2(a)cos^4(a)=sin^2(a)cos^2(a);
2) ctg^2(a)-cos^2(a)=ctg^2(a)cos^2(a);
3) 1+(ctg^2(a)-tg^2(a))cos^2(a)=ctg^2(a).
Левая часть:
$$\sin^4 a \cos^2 a+\sin^2 a \cos^4 a=\sin^2 a \cos^2 a(\sin^2 a+\cos^2 a).$$
Так как $$\sin^2 a+\cos^2 a=1,$$ получаем
$$\sin^2 a \cos^2 a(\sin^2 a+\cos^2 a)=\sin^2 a \cos^2 a.$$
Тождество доказано.Преобразуем левую часть:
$$ \ctg^2 a-\cos^2 a=\ctg^2 a\cos^2 a. $$
Перенесём всё в одну сторону:
$$ \ctg^2 a-\ctg^2 a\cos^2 a-\cos^2 a=0. $$
Вынесем $$\ctg^2 a$$ за скобки:
$$ \ctg^2 a(1-\cos^2 a)-\cos^2 a=0. $$
Так как $$1-\cos^2 a=\sin^2 a$$ и $$\ctg^2 a=\dfrac{\cos^2 a}{\sin^2 a},$$ то
$$ \ctg^2 a\sin^2 a-\cos^2 a=0, $$
$$ \cos^2 a-\cos^2 a=0. $$
Получаем верное равенство $$0=0.$$ Тождество доказано.Преобразуем левую часть:
$$ 1+(\ctg^2 a-\tg^2 a)\cos^2 a. $$
Подставим $$\tg^2 a=\dfrac{\sin^2 a}{\cos^2 a}$$:
$$ 1+\left(\ctg^2 a-\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}\right)\cos^2 a. $$
Раскроем скобки:
$$ 1+\ctg^2 a\cos^2 a-\sin^2 a. $$
Так как $$1-\sin^2 a=\cos^2 a,$$ получаем
$$ \cos^2 a+\ctg^2 a\cos^2 a=\ctg^2 a. $$
Вынесем $$\cos^2 a$$:
$$ \cos^2 a(1+\ctg^2 a)=\ctg^2 a. $$
Но $$1+\ctg^2 a=\dfrac{1}{\sin^2 a},$$ значит
$$ \cos^2 a\cdot \frac{1}{\sin^2 a}=\ctg^2 a, $$
то есть
$$ \ctg^2 a=\ctg^2 a. $$
Тождество доказано.
Ответ
1) $$\sin^4 a\cos^2 a+\sin^2 a\cos^4 a=\sin^2 a\cos^2 a$$;
2) $$\ctg^2 a-\cos^2 a=\ctg^2 a\cos^2 a$$;
3) $$1+(\ctg^2 a-\tg^2 a)\cos^2 a=\ctg^2 a.$$
