Упр.20.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) cos a=12/13 и 0 < a < ?/2; 3) tg a=-1/3 и 3?/2 < a < 2?; 2) sin a=-v3/4 и ? < a < 3?/2; 4) ctg a=-7 и ?/2 < a < ?.

Подробный ответ

$$\cos a=\frac{12}{13}, \quad 0<a<\frac{\pi}{2}.$$
Угол $$a$$ лежит в первой четверти, значит $$\sin a>0$$:
$$ \sin a=\sqrt{1-\cos^2 a} =\sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^2} =\sqrt{1-\frac{144}{169}} =\sqrt{\frac{25}{169}} =\frac{5}{13}. $$
Тогда
$$ \tg a=\frac{\sin a}{\cos a} =\frac{5/13}{12/13} =\frac{5}{12}, \qquad \ctg a=\frac{1}{\tg a}=\frac{12}{5}. $$
$$\sin a=-\frac{\sqrt3}{4}, \quad \pi<a<\frac{3\pi}{2}.$$
Угол $$a$$ лежит в третьей четверти, значит $$\cos a<0$$:
$$ \cos a=-\sqrt{1-\sin^2 a} =-\sqrt{1-\left(-\frac{\sqrt3}{4}\right)^2} =-\sqrt{1-\frac{3}{16}} =-\sqrt{\frac{13}{16}} =-\frac{\sqrt{13}}{4}. $$
Тогда
$$ \tg a=\frac{\sin a}{\cos a} =\frac{-\sqrt3/4}{-\sqrt{13}/4} =\frac{\sqrt3}{\sqrt{13}} =\frac{\sqrt{39}}{13}, \qquad \ctg a=\frac{1}{\tg a}=\frac{\sqrt{39}}{3}. $$
$$\tg a=-\frac13, \quad \frac{3\pi}{2}<a<2\pi.$$
Угол $$a$$ лежит в четвертой четверти, значит $$\cos a>0$$, $$\sin a<0$$:
$$ \cos a=\sqrt{\frac{1}{1+\tg^2 a}} =\sqrt{\frac{1}{1+\left(-\frac13\right)^2}} =\sqrt{\frac{1}{1+\frac19}} =\sqrt{\frac{9}{10}} =\frac{3\sqrt{10}}{10}. $$
Тогда
$$ \sin a=\tg a\cdot \cos a =-\frac13\cdot \frac{3\sqrt{10}}{10} =-\frac{\sqrt{10}}{10}, \qquad \ctg a=\frac{1}{\tg a}=-3. $$
$$\ctg a=-7, \quad \frac{\pi}{2}<a<\pi.$$
Угол $$a$$ лежит во второй четверти, значит $$\sin a>0$$, $$\cos a<0$$:
$$ \sin a=\sqrt{\frac{1}{1+\ctg^2 a}} =\sqrt{\frac{1}{1+(-7)^2}} =\sqrt{\frac{1}{50}} =\frac{\sqrt2}{10}. $$
Тогда
$$ \cos a=\ctg a\cdot \sin a =-7\cdot \frac{\sqrt2}{10} =-\frac{7\sqrt2}{10}, \qquad \tg a=\frac{1}{\ctg a}=-\frac17. $$