Упр.20.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Упростите выражение:

1) $$1-\cos^2 a$$; 6) $$\frac{1}{\cos^2 a}-1$$; 2) $$\sin^2 ?-1$$; 7) $$1-\sin^2(a)+\cos^2(a)\sin^2(a)$$; 3) $$\sin^2(?)+\cos^2(?)+1$$; 8) $$\cos^2(a)+\operatorname{ctg}^2(a)-\frac{1}{\sin^2(a)}$$; 4) $$1-\sin^2(3a)-\cos^2(3a)$$; 9) $$\frac{\sin^2(?)}{1-\sin^2(?)}\cdot\operatorname{ctg}^2(?)$$; 5) $$\cos(a)\operatorname{tg}(a)$$; 10) $$(\sin a+\cos a)^2+(\sin a-\cos a)^2$$.

1) $$1-\cos^2 a=(\sin^2 a+\cos^2 a)-\cos^2 a=\sin^2 a.$$

2) $$\sin^2 \beta-1=\sin^2 \beta-(\sin^2 \beta+\cos^2 \beta)=-\cos^2 \beta.$$

3) $$\sin^2 \varphi+\cos^2 \varphi+1=1+1=2.$$

4) $$1-\sin^2 3a-\cos^2 3a=1-(\sin^2 3a+\cos^2 3a)=1-1=0.$$

5) $$\cos a\cdot \tg a=\cos a\cdot \frac{\sin a}{\cos a}=\sin a.$$

6) $$\frac{1}{\cos^2 a}-1=\frac{1-\cos^2 a}{\cos^2 a}=\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}=\tg^2 a.$$

7) $$1-\sin^2 a+\ctg^2 a\cdot \sin^2 a=1-\sin^2 a+\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}\cdot \sin^2 a$$

$$=(\sin^2 a+\cos^2 a)-\sin^2 a+\cos^2 a=2\cos^2 a.$$

8) $$\cos^2 a+\ctg^2 a-\frac{1}{\sin^2 a}=\cos^2 a+\ctg^2 a-\left(1+\ctg^2 a\right)=\cos^2 a-1=-\sin^2 a.$$

9) $$\frac{\sin^2 \beta}{1-\sin^2 \beta}\cdot \ctg^2 \beta=\frac{\sin^2 \beta}{\cos^2 \beta}\cdot \frac{\cos^2 \beta}{\sin^2 \beta}=1.$$

10) $$(\sin a+\cos a)^2+(\sin a-\cos a)^2$$

$$=(\sin^2 a+2\sin a\cos a+\cos^2 a)+(\sin^2 a-2\sin a\cos a+\cos^2 a)$$

$$=2(\sin^2 a+\cos^2 a)=2.$$

Ответ: 1) $$\sin^2 a$$; 2) $$-\cos^2 \beta$$; 3) $$2$$; 4) $$0$$; 5) $$\sin a$$; 6) $$\tg^2 a$$; 7) $$2\cos^2 a$$; 8) $$-\sin^2 a$$; 9) $$1$$; 10) $$2$$.