Упр.19.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Возможно ли равенство:
   1) $$\sin a=\frac{2}{3}\operatorname{tg}80^\circ$$;
   2) $$\cos a=\operatorname{ctg}\frac{?}{18}$$;
   3) $$\cos a=\operatorname{tg}\frac{?}{9}$$?

1) $$\sin a=\frac{2}{3}\tg 80^\circ$$

Функция $$y=\tg x$$ возрастает на промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$$, поэтому при $$80^\circ>60^\circ$$ имеем

$$\tg 80^\circ>\tg 60^\circ=\sqrt{3}.$$

Тогда

$$\frac{2}{3}\tg 80^\circ>\frac{2\sqrt{3}}{3}>1.$$

Но $$\sin a\le 1$$, значит, равенство невозможно.

Ответ: нет.

2) $$\cos a=\ctg \frac{\pi}{18}$$

Функция $$y=\ctg x$$ убывает на промежутке $$\left(0,\pi\right)$$, а так как

$$\frac{\pi}{18}<\frac{\pi}{6},$$

то

$$\ctg \frac{\pi}{18}>\ctg \frac{\pi}{6}=\sqrt{3}.$$

Следовательно,

$$\ctg \frac{\pi}{18}>\sqrt{3}>1.$$

Но $$\cos a\le 1$$, значит, равенство невозможно.

Ответ: нет.

3) $$\cos a=\tg \frac{\pi}{9}$$

Функция $$y=\tg x$$ возрастает на промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$$, поэтому

$$0<\frac{\pi}{9}<\frac{\pi}{4}$$

и значит

$$0<\tg \frac{\pi}{9}<\tg \frac{\pi}{4}=1.$$

Так как значения функции $$\cos a$$ могут принимать любые числа из отрезка $$[-1,1]$$, то такое равенство возможно.

Ответ: да.