Упр.19.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Какие из чисел $$\frac{\pi}{2},\ 0,\ -\frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2},\ -\pi,\ 2\pi,\ -\frac{5\pi}{2},\ \frac{\pi}{4}$$: 1) являются нулями функции $$y=\operatorname{ctg}x$$; 2) не принадлежат области определения функции $$y=\operatorname{ctg}x$$?

Для функции $$y=\operatorname{ctg}x$$

$$\operatorname{ctg}x=0$$ при $$x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z},$$

а не определена она при $$x=\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Проверим данные значения:

$$\begin{aligned} \operatorname{ctg}\frac{\pi}{2}&=0,\\ \operatorname{ctg}0&\text{ не существует},\\ \operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{2}\right)&=0,\\ \operatorname{ctg}\frac{3\pi}{2}&=0,\\ \operatorname{ctg}(-\pi)&\text{ не существует},\\ \operatorname{ctg}2\pi&\text{ не существует},\\ \operatorname{ctg}\left(-\frac{5\pi}{2}\right)&=0,\\ \operatorname{ctg}\frac{\pi}{4}&=1. \end{aligned}$$

Следовательно:

1. нулями функции $$y=\operatorname{ctg}x$$ являются $$\dfrac{\pi}{2},\ -\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{3\pi}{2},\ -\dfrac{5\pi}{2};$$
2. не принадлежат области определения функции $$y=\operatorname{ctg}x$$ числа $$0,\ -\pi,\ 2\pi.$$

Ответ

1) $$\dfrac{\pi}{2},\ -\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{3\pi}{2},\ -\dfrac{5\pi}{2}$$; 2) $$0,\ -\pi,\ 2\pi$$.