Упр.19.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Постройте график функции:
1) $$y=(\sqrt{\operatorname{tg} x})^2$$;
2) $$y=\operatorname{ctg} x-\operatorname{ctg}|x|$$;
3) $$y=\sqrt{-\operatorname{ctg}^2 x}$$;
4) $$y=\frac{|\operatorname{tg} x|}{\operatorname{tg} x}$$;
5) $$y=\operatorname{tg} x+\sqrt{\operatorname{tg}^2 x}$$;
6) $$y=|\operatorname{ctg} x|$$.
1) $$y=\left(\sqrt{\tg x}\right)^2=|\tg x|.$$
Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то $$\tg x\ge 0.$$ На этой области $$|\tg x|=\tg x,$$ значит график совпадает с графиком функции $$y=\tg x$$ на тех промежутках, где $$\tg x\ge 0.$$
2) $$y=\ctg x-\ctg|x|.$$
Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ поэтому
$$y=\ctg x-\ctg x=0.$$
Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и
$$\ctg|x|=\ctg(-x)=-\ctg x,$$
следовательно,
$$y=\ctg x-(-\ctg x)=2\ctg x.$$
Итак,
$$y= \begin{cases} 2\ctg x, & x<0,\\ 0, & x\ge 0. \end{cases}$$
3) $$y=\sqrt{-\ctg^2 x}.$$
Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$$-\ctg^2 x\ge 0.$$
Так как $$\ctg^2 x\ge 0,$$ то возможно только
$$\ctg^2 x=0,\quad \ctg x=0.$$
Тогда $$y=\sqrt{0}=0.$$
Значит, график состоит из точек, где $$\ctg x=0,$$ то есть
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$
и для всех этих точек $$y=0.$$
4) $$y=\frac{|\tg x|}{\tg x}.$$
Область определения: $$\tg x\ne 0.$$
Если $$\tg x>0,$$ то
$$y=\frac{\tg x}{\tg x}=1.$$
Если $$\tg x<0,$$ то
$$y=\frac{-\tg x}{\tg x}=-1.$$
Следовательно,
$$y= \begin{cases} 1, & \tg x>0,\\ -1, & \tg x<0. \end{cases}$$
5) $$y=\tg x+\sqrt{\tg^2 x}=\tg x+|\tg x|.$$
Если $$\tg x\ge 0,$$ то
$$y=\tg x+\tg x=2\tg x.$$
Если $$\tg x<0,$$ то
$$y=\tg x-\tg x=0.$$
Значит,
$$y= \begin{cases} 2\tg x, & \tg x\ge 0,\\ 0, & \tg x<0. \end{cases}$$
6) $$y=|\ctg x|.$$
Если $$\ctg x\ge 0,$$ то $$y=\ctg x.$$
Если $$\ctg x<0,$$ то $$y=-\ctg x.$$
Итак,
$$y= \begin{cases} \ctg x, & \ctg x\ge 0,\\ -\ctg x, & \ctg x<0. \end{cases}$$
Ответ
$$1)\ y=|\tg x|;\quad 2)\ y= \begin{cases} 2\ctg x, & x<0,\\ 0, & x\ge 0 \end{cases} ;\quad 3)\ y=0 \text{ при } \ctg x=0;$$
$$4)\ y= \begin{cases} 1, & \tg x>0,\\ -1, & \tg x<0 \end{cases} ;\quad 5)\ y= \begin{cases} 2\tg x, & \tg x\ge 0,\\ 0, & \tg x<0 \end{cases} ;\quad 6)\ y=|\ctg x|.$$
