Упр.19.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Постройте график функции:

1. $$y=2\operatorname{tg}\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)$$;
2. $$y=\operatorname{ctg}\left(3x-\frac{\pi}{12}\right)$$.

1) Рассмотрим функцию $$y=2\tg\left(x+\frac{2\pi}{3}\right).$$

График функции $$y=\tg x$$ нужно:

• сдвинуть на $$\frac{2\pi}{3}$$ единиц влево;
• растянуть в 2 раза от оси абсцисс.

Период функции не изменяется и равен $$\pi$$. Вертикальные асимптоты задаются уравнением

$$x+\frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z},$$

откуда

$$x=-\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Нули функции находятся из уравнения

$$x+\frac{2\pi}{3}=\pi k,\quad k\in\mathbb{Z},$$

то есть

$$x=-\frac{2\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

2) Рассмотрим функцию $$y=\ctg\left(3x-\frac{\pi}{12}\right).$$

График функции $$y=\ctg x$$ нужно:

• сдвинуть на $$\frac{\pi}{12}$$ единиц вправо;
• сжать в 3 раза к оси ординат.

Период функции равен

$$T=\frac{\pi}{3}.$$

Вертикальные асимптоты задаются уравнением

$$3x-\frac{\pi}{12}=\pi k,\quad k\in\mathbb{Z},$$

откуда

$$x=\frac{\pi}{36}+\frac{\pi k}{3},\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Нули функции находятся из уравнения

$$3x-\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z},$$

то есть

$$x=\frac{7\pi}{36}+\frac{\pi k}{3},\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Ответ: графики получаются из графиков $$y=\tg x$$ и $$y=\ctg x$$ указанными сдвигами и растяжением; асимптоты и нули заданы формулами выше.