Упр.18.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) y=cos x-1; 3) y=cos(x/2);
2) y=cos(x+?/3); 4) y=3cos x.
$$y=\cos x-1$$
График функции $$y=\cos x$$ сдвигаем на 1 единицу вниз.
Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то
$$-2\le \cos x-1\le 0.$$
Следовательно, область значений: $$E(y)=[-2;0].$$
Нули функции:
$$\cos x-1=0 \Rightarrow \cos x=1 \Rightarrow x=2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
Значения функции отрицательны при
$$\cos x-1<0 \Rightarrow \cos x<1,$$
то есть при всех $$x,$$ кроме $$x=2\pi n.$$
Функция возрастает там же, где возрастает $$\cos x,$$ то есть на
$$[-\pi+2\pi n;\,2\pi n],\quad n\in\mathbb Z.$$
Функция убывает на
$$[2\pi n;\,\pi+2\pi n],\quad n\in\mathbb Z.$$
Наибольшее значение:
$$\max y=0 \text{ при } x=2\pi n.$$
Наименьшее значение:
$$\min y=-2 \text{ при } x=\pi+2\pi n.$$
$$y=\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$$
График функции $$y=\cos x$$ сдвигаем на $$\frac{\pi}{3}$$ единиц влево.
Так как амплитуда не меняется, то
$$E(y)=[-1;1].$$
Нули функции:
$$\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=0 \Rightarrow x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Значения положительны при
$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<x+\frac{\pi}{3}<\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$
то есть
$$-\frac{5\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Значения отрицательны при
$$\frac{\pi}{2}+2\pi n<x+\frac{\pi}{3}<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,$$
то есть
$$\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Функция возрастает на
$$\left[\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$
Функция убывает на
$$\left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$
Наибольшее значение:
$$\max y=1 \text{ при } x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n.$$
Наименьшее значение:
$$\min y=-1 \text{ при } x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$
$$y=\cos\frac{x}{2}$$
График функции $$y=\cos x$$ растягиваем в 2 раза от оси ординат.
Область значений не меняется:
$$E(y)=[-1;1].$$
Нули функции:
$$\cos\frac{x}{2}=0 \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Значения положительны при
$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<\frac{x}{2}<\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$
то есть
$$-\pi+4\pi n<x<\pi+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Значения отрицательны при
$$\frac{\pi}{2}+2\pi n<\frac{x}{2}<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,$$
то есть
$$\pi+4\pi n<x<3\pi+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Функция возрастает на
$$[-2\pi+4\pi n;\,4\pi n],\quad n\in\mathbb Z.$$
Функция убывает на
$$[4\pi n;\,2\pi+4\pi n],\quad n\in\mathbb Z.$$
Наибольшее значение:
$$\max y=1 \text{ при } x=4\pi n.$$
Наименьшее значение:
$$\min y=-1 \text{ при } x=2\pi+4\pi n.$$
$$y=3\cos x$$
График функции $$y=\cos x$$ растягиваем в 3 раза от оси абсцисс.
Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то
$$-3\le 3\cos x\le 3.$$
Следовательно, область значений: $$E(y)=[-3;3].$$
Нули функции:
$$3\cos x=0 \Rightarrow \cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Значения положительны при
$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Значения отрицательны при
$$\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Функция возрастает на
$$[-\pi+2\pi n;\,2\pi n],\quad n\in\mathbb Z.$$
Функция убывает на
$$[2\pi n;\,\pi+2\pi n],\quad n\in\mathbb Z.$$
Наибольшее значение:
$$\max y=3 \text{ при } x=2\pi n.$$
Наименьшее значение:
$$\min y=-3 \text{ при } x=\pi+2\pi n.$$
Ответ
1) $$E(y)=[-2;0],\ x=2\pi n,\ y<0 \text{ при } x\ne 2\pi n,\ \uparrow\ [-\pi+2\pi n;2\pi n],\ \downarrow\ [2\pi n;\pi+2\pi n],\ \max y=0,\ \min y=-2.$$
2) $$E(y)=[-1;1],\ x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\ y>0 \text{ на } \left(-\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\frac{\pi}{6}+2\pi n\right),\ y<0 \text{ на } \left(\frac{\pi}{6}+2\pi n;\frac{7\pi}{6}+2\pi n\right),$$
$$\uparrow\ \left[\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right],\ \downarrow\ \left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right],\ \max y=1,\ \min y=-1.$$
3) $$E(y)=[-1;1],\ x=\pi+2\pi n,\ y>0 \text{ на } (-\pi+4\pi n;\pi+4\pi n),\ y<0 \text{ на } (\pi+4\pi n;3\pi+4\pi n),$$
$$\uparrow\ [-2\pi+4\pi n;4\pi n],\ \downarrow\ [4\pi n;2\pi+4\pi n],\ \max y=1,\ \min y=-1.$$
4) $$E(y)=[-3;3],\ x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ y>0 \text{ на } \left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n\right),\ y<0 \text{ на } \left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right),$$
$$\uparrow\ [-\pi+2\pi n;2\pi n],\ \downarrow\ [2\pi n;\pi+2\pi n],\ \max y=3,\ \min y=-3,\quad n\in\mathbb Z.$$
