Упр.18.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Постройте график функции; укажите область значений данной функции, её нули, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и промежутки убывания; определите, какие наибольшее и наименьшее значения может принимать функция и при каких значениях аргумента:
- $$y=\cos x-1$$;
- $$y=\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$$;
- $$y=\cos\frac{x}{2}$$;
- $$y=3\cos x$$.
1) $$y=\cos x-1$$
График функции $$y=\cos x$$ сдвигаем на $$1$$ единицу вниз.
Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то
$$-2\le y\le 0.$$
Нули функции:
$$\cos x-1=0 \;\Rightarrow\; \cos x=1 \;\Rightarrow\; x=2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
Значения функции отрицательны при
$$x\in(2\pi n;\,2\pi+2\pi n),\quad n\in\mathbb Z.$$
Функция возрастает на
$$[-\pi+2\pi n;\,2\pi n],\quad n\in\mathbb Z,$$
и убывает на
$$[2\pi n;\,\pi+2\pi n],\quad n\in\mathbb Z.$$
Наибольшее значение:
$$\max y=0 \quad \text{при} \quad x=2\pi n.$$
Наименьшее значение:
$$\min y=-2 \quad \text{при} \quad x=\pi+2\pi n.$$
2) $$y=\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$$
График функции $$y=\cos x$$ сдвигаем на $$\frac{\pi}{3}$$ единицы влево.
Так как амплитуда не меняется, то
$$E(y)=[-1;1].$$
Нули функции:
$$\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=0 \;\Rightarrow\; x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
откуда
$$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Значения функции положительны при
$$x\in\left(-\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z,$$
а отрицательны при
$$x\in\left(\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{7\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$
Функция возрастает на
$$\left[\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z,$$
и убывает на
$$\left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$
Наибольшее значение:
$$\max y=1 \quad \text{при} \quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n.$$
Наименьшее значение:
$$\min y=-1 \quad \text{при} \quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$
3) $$y=\cos\frac{x}{2}$$
График функции $$y=\cos x$$ растягиваем в 2 раза вдоль оси абсцисс.
Так как коэффициент перед косинусом не меняется, то
$$E(y)=[-1;1].$$
Нули функции:
$$\cos\frac{x}{2}=0 \;\Rightarrow\; \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
откуда
$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Значения функции положительны при
$$x\in(-\pi+4\pi n;\,\pi+4\pi n),\quad n\in\mathbb Z,$$
а отрицательны при
$$x\in(\pi+4\pi n;\,3\pi+4\pi n),\quad n\in\mathbb Z.$$
Функция возрастает на
$$[-2\pi+4\pi n;\,4\pi n],\quad n\in\mathbb Z,$$
и убывает на
$$[4\pi n;\,2\pi+4\pi n],\quad n\in\mathbb Z.$$
Наибольшее значение:
$$\max y=1 \quad \text{при} \quad x=4\pi n.$$
Наименьшее значение:
$$\min y=-1 \quad \text{при} \quad x=2\pi+4\pi n.$$
4) $$y=3\cos x$$
График функции $$y=\cos x$$ растягиваем в 3 раза вдоль оси ординат.
Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то
$$-3\le y\le 3.$$
Нули функции:
$$3\cos x=0 \;\Rightarrow\; \cos x=0 \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Значения функции положительны при
$$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z,$$
а отрицательны при
$$x\in\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$
Функция возрастает на
$$[-\pi+2\pi n;\,2\pi n],\quad n\in\mathbb Z,$$
и убывает на
$$[2\pi n;\,\pi+2\pi n],\quad n\in\mathbb Z.$$
Наибольшее значение:
$$\max y=3 \quad \text{при} \quad x=2\pi n.$$
Наименьшее значение:
$$\min y=-3 \quad \text{при} \quad x=\pi+2\pi n.$$
