Упр.18.19 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 18.19. Постройте график функции y=2sin(2x+?/3)-1.
Рассмотрим функцию $$y=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)-1.$$
Преобразуем аргумент:
$$2x+\frac{\pi}{3}=2\left(x+\frac{\pi}{6}\right).$$
Значит, график функции $$y=\sin x$$ нужно:
- сдвинуть влево на $$\frac{\pi}{6}$$;
- сжать по вертикали в 2 раза и растянуть по горизонтали в 2 раза;
- сдвинуть вниз на 1.
Амплитуда функции равна $$2$$, период:
$$T=\frac{2\pi}{2}=\pi.$$
Так как синус принимает значения от $$-1$$ до $$1$$, то для данной функции:
$$-1-2\le y\le -1+2,$$
то есть
$$-3\le y\le 1.$$
Для построения удобно отметить несколько точек одного периода. Например:
$$ \begin{aligned} 2x+\frac{\pi}{3}&=0 &\Rightarrow&\ x=-\frac{\pi}{6}, & y&=-1,\\ 2x+\frac{\pi}{3}&=\frac{\pi}{2} &\Rightarrow&\ x=\frac{\pi}{12}, & y&=1,\\ 2x+\frac{\pi}{3}&=\pi &\Rightarrow&\ x=\frac{\pi}{3}, & y&=-1,\\ 2x+\frac{\pi}{3}&=\frac{3\pi}{2} &\Rightarrow&\ x=\frac{7\pi}{12}, & y&=-3,\\ 2x+\frac{\pi}{3}&=2\pi &\Rightarrow&\ x=\frac{5\pi}{6}, & y&=-1. \end{aligned} $$
Соединив эти точки плавной синусоидой, получаем график функции.
Ответ
График функции $$y=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)-1$$ получается из графика $$y=\sin x$$ сдвигом влево на $$\frac{\pi}{6}$$, растяжением по вертикали в 2 раза, сжатием по горизонтали в 2 раза и сдвигом вниз на 1. Период $$T=\pi$$, область значений $$[-3;1]$$.
