Упр.18.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) y=sin x+1; 3) y=sin(2x);
2) y=sin(x-?/4); 4) y=-(1/2)sin x.
1) $$y=\sin x+1$$
График функции $$y=\sin x$$ сдвигаем на 1 единицу вверх.
Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то
$$0\le \sin x+1\le 2.$$Следовательно, область значений: $$E(y)=[0;2].$$
Нули функции находим из уравнения
$$ \sin x+1=0 \\ \sin x=-1 $$
$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Функция положительна при всех $$x,$$ кроме точек $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$
Функция возрастает на
$$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z,$$
убывает на
$$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$
Наибольшее значение: $$2$$ при $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$
Наименьшее значение: $$0$$ при $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$2) $$y=\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$
График функции $$y=\sin x$$ сдвигаем на $$\frac{\pi}{4}$$ единиц вправо.
Так как $$-1\le \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\le 1,$$ то
область значений:
$$E(y)=[-1;1].$$Нули функции:
$$ \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=0 \\ x-\frac{\pi}{4}=\pi n $$
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Функция положительна на
$$\left(\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{4}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z,$$
отрицательна на
$$\left(-\frac{3\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{\pi}{4}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$
Функция возрастает на
$$\left[-\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{4}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z,$$
убывает на
$$\left[\frac{3\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{7\pi}{4}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$
Наибольшее значение: $$1$$ при $$x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n.$$
Наименьшее значение: $$-1$$ при $$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n.$$3) $$y=\sin 2x$$
График функции $$y=\sin x$$ сжимаем в 2 раза к оси ординат.
Так как $$-1\le \sin 2x\le 1,$$ то
область значений:
$$E(y)=[-1;1].$$Нули функции:
$$ \sin 2x=0 \\ 2x=\pi n $$
$$x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
Функция положительна на
$$\left(\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z,$$
отрицательна на
$$\left(\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\pi+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$
Функция возрастает на
$$\left[-\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{\pi}{4}+\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z,$$
убывает на
$$\left[\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{3\pi}{4}+\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$
Наибольшее значение: $$1$$ при $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n.$$
Наименьшее значение: $$-1$$ при $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n.$$4) $$y=-\frac12\sin x$$
График функции $$y=\sin x$$ отражаем относительно оси абсцисс и сжимаем в 2 раза к оси абсцисс.
Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то
$$-\frac12\le -\frac12\sin x\le \frac12.$$Следовательно, область значений: $$E(y)=\left[-\frac12;\frac12\right].$$
Нули функции:
$$ -\frac12\sin x=0 \\ \sin x=0 $$
$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Функция положительна на
$$\left(-\pi+2\pi n;\,2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z,$$
отрицательна на
$$\left(2\pi n;\,\pi+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$
Функция возрастает на
$$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z,$$
убывает на
$$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$
Наибольшее значение: $$\frac12$$ при $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$
Наименьшее значение: $$-\frac12$$ при $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$
Ответ
1) $$E(y)=[0;2]$$, нули: $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$$; положительна при всех остальных $$x$$; возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right]$$; $$\max y=2$$, $$\min y=0$$.
2) $$E(y)=[-1;1]$$, нули: $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$; положительна на $$\left(\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{4}+2\pi n\right)$$, отрицательна на $$\left(-\frac{3\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{\pi}{4}+2\pi n\right)$$; возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{4}+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\frac{3\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{7\pi}{4}+2\pi n\right]$$; $$\max y=1$$, $$\min y=-1$$.
3) $$E(y)=[-1;1]$$, нули: $$x=\frac{\pi n}{2}$$; положительна на $$\left(\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right)$$, отрицательна на $$\left(\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\pi+\pi n\right)$$; возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{\pi}{4}+\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{3\pi}{4}+\pi n\right]$$; $$\max y=1$$, $$\min y=-1$$.
4) $$E(y)=\left[-\frac12;\frac12\right]$$, нули: $$x=\pi n$$; положительна на $$\left(-\pi+2\pi n;\,2\pi n\right)$$, отрицательна на $$\left(2\pi n;\,\pi+2\pi n\right)$$; возрастает на $$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right]$$; $$\max y=\frac12$$, $$\min y=-\frac12$$.
