Упр.18.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Постройте график функции; укажите область значений данной функции, её нули, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и промежутки убывания; определите, какие наибольшее и наименьшее значения может принимать функция и при каких значениях аргумента:
- $$y=\sin x+1$$;
- $$y=\sin(2x)$$;
- $$y=\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$;
- $$y=-\frac{1}{2}\sin x$$.
1) Для функции $$y=\sin x+1$$ график $$y=\sin x$$ сдвигается вверх на $$1$$.
Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то
$$0\le y\le 2.$$
Нули функции найдём из уравнения
$$\sin x+1=0 \;\Rightarrow\; \sin x=-1,$$
откуда
$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Функция положительна при
$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Она возрастает на
$$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z,$$
и убывает на
$$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$
Наибольшее значение равно $$2$$ и достигается при
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Наименьшее значение равно $$0$$ и достигается при
$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2) Для функции $$y=\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$ график $$y=\sin x$$ сдвигается вправо на $$\frac{\pi}{4}$$.
Так как область значений синуса не меняется, то
$$-1\le y\le 1.$$
Нули функции:
$$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=0 \;\Rightarrow\; x-\frac{\pi}{4}=\pi n,$$
то есть
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Функция положительна на
$$\left(\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{4}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z,$$
и отрицательна на
$$\left(-\frac{3\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{\pi}{4}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$
Функция возрастает на
$$\left[-\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{4}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z,$$
и убывает на
$$\left[\frac{3\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{7\pi}{4}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$
Наибольшее значение равно $$1$$ и достигается при
$$x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Наименьшее значение равно $$-1$$ и достигается при
$$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
3) Для функции $$y=\sin 2x$$ график $$y=\sin x$$ сжимается в 2 раза к оси ординат.
Так как $$-1\le \sin 2x\le 1,$$ то
$$-1\le y\le 1.$$
Нули функции:
$$\sin 2x=0 \;\Rightarrow\; 2x=\pi n,$$
значит
$$x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
Функция положительна на
$$\left(\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z,$$
и отрицательна на
$$\left(\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\pi+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$
Функция возрастает на
$$\left[-\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{\pi}{4}+\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z,$$
и убывает на
$$\left[\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{3\pi}{4}+\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$
Наибольшее значение равно $$1$$ и достигается при
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Наименьшее значение равно $$-1$$ и достигается при
$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
4) Для функции $$y=-\frac12\sin x$$ график $$y=\sin x$$ отражается относительно оси абсцисс и сжимается в 2 раза к оси абсцисс.
Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то
$$-\frac12\le y\le \frac12.$$
Нули функции:
$$-\frac12\sin x=0 \;\Rightarrow\; \sin x=0,$$
откуда
$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Функция положительна на
$$(-\pi+2\pi n;\,2\pi n),\quad n\in\mathbb Z,$$
и отрицательна на
$$\left(2\pi n;\,\pi+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$
Функция возрастает на
$$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z,$$
и убывает на
$$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$
Наибольшее значение равно $$\frac12$$ и достигается при
$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Наименьшее значение равно $$-\frac12$$ и достигается при
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
