Упр.18.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Постройте график функции:
- $$y=(\sqrt{\cos x})^2$$;
- $$y=\sin x-\sqrt{\sin^2 x}$$;
- $$y=\sqrt{-\cos^2 x}$$;
- $$y=\sqrt{\sin x-1}$$;
- $$y=\frac{|\cos x|}{\cos x}$$.
1) $$y=(\sqrt{\cos x})^2=|\cos x|.$$
Выражение имеет смысл при $$\cos x\ge 0.$$
На этой области $$|\cos x|=\cos x,$$ значит, график совпадает с графиком функции $$y=\cos x$$ на тех промежутках, где $$\cos x\ge 0,$$ и отсутствует там, где $$\cos x<0.$$
2) $$y=\sin x-\sqrt{\sin^2 x}=\sin x-|\sin x|.$$
Если $$\sin x\ge 0,$$ то
$$y=\sin x-\sin x=0.$$
Если $$\sin x<0,$$ то
$$y=\sin x-(-\sin x)=2\sin x.$$
Значит, график состоит из участков прямой $$y=0$$ при $$\sin x\ge 0$$ и участков графика $$y=2\sin x$$ при $$\sin x<0.$$
3) $$y=\sqrt{-\cos^2 x}.$$
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$$-\cos^2 x\ge 0.$$
Так как $$\cos^2 x\ge 0,$$ то возможно только
$$\cos^2 x=0,\qquad \cos x=0.$$
Тогда
$$y=\sqrt{0}=0.$$
Следовательно, график — это точки $$x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb Z,$$ лежащие на оси $$Ox.$$
4) $$y=\sqrt{\sin x-1}.$$
Выражение имеет смысл при
$$\sin x-1\ge 0,$$
то есть
$$\sin x\ge 1.$$
Но $$\sin x\le 1,$$ значит, возможно только
$$\sin x=1.$$
Тогда
$$y=\sqrt{1-1}=0.$$
Следовательно, график — это точки $$x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,$$ на оси $$Ox.$$
5) $$y=\dfrac{|\cos x|}{\cos x}.$$
Выражение имеет смысл при $$\cos x\ne 0.$$
Если $$\cos x>0,$$ то
$$y=\dfrac{\cos x}{\cos x}=1.$$
Если $$\cos x<0,$$ то
$$y=\dfrac{-\cos x}{\cos x}=-1.$$
Значит, график — кусочно-постоянная функция: $$y=1$$ при $$\cos x>0$$ и $$y=-1$$ при $$\cos x<0,$$ без точек, где $$\cos x=0.$$
Ответ
1) $$y=|\cos x|$$; 2) $$y=\sin x-|\sin x|$$; 3) $$y=0$$ при $$x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$$; 4) $$y=0$$ при $$x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$$; 5) $$y=\dfrac{|\cos x|}{\cos x}=\begin{cases}1,&\cos x>0,\\-1,&\cos x<0.\end{cases}$$
