Упр.18.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) y=(vsin x)^2; 3) y=cos x+v(cos^2 x); 5) y=v(cos x-1);
2) y=sin x+sin|x|; 4) y=v(-sin^2 x); 6) y=(sin x)/|sin x|.

1. $$y=(\sqrt{\sin x})^2$$

   Выражение имеет смысл, когда $$\sin x \ge 0$$. Тогда

   $$y=\sin x.$$

   Значит, график совпадает с графиком $$y=\sin x$$ на тех промежутках, где $$\sin x \ge 0$$, и не определён там, где $$\sin x<0$$.

2. $$y=\sin x+\sin|x|$$

   Если $$x \ge 0$$, то $$|x|=x$$ и

   $$y=\sin x+\sin x=2\sin x.$$

   Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$ и

   $$y=\sin x+\sin(-x)=\sin x-\sin x=0.$$

   Следовательно,

   $$ y= \begin{cases} 0, & x<0,\\ 2\sin x, & x\ge 0. \end{cases} $$

3. $$y=\cos x+\sqrt{\cos^2 x}$$

   Так как $$\sqrt{\cos^2 x}=|\cos x|$$, получаем

   $$y=\cos x+|\cos x|.$$

   Если $$\cos x \ge 0$$, то

   $$y=\cos x+\cos x=2\cos x.$$

   Если $$\cos x<0$$, то

   $$y=\cos x-\cos x=0.$$

   Значит,

   $$ y= \begin{cases} 2\cos x, & \cos x\ge 0,\\ 0, & \cos x<0. \end{cases} $$

4. $$y=\sqrt{-\sin^2 x}$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$-\sin^2 x \ge 0.$$

   Но $$\sin^2 x \ge 0$$, значит возможно только

   $$\sin^2 x=0,\quad \sin x=0.$$

   Тогда

   $$y=\sqrt{0}=0.$$

   График — точки $$\bigl(\pi k,\,0\bigr)$$, $$k\in\mathbb Z$$.

5. $$y=\sqrt{\cos x-1}$$

   Для существования корня нужно

   $$\cos x-1\ge 0,$$

   то есть

   $$\cos x\ge 1.$$

   Это возможно только при

   $$\cos x=1,\quad x=2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

   Тогда

   $$y=\sqrt{1-1}=0.$$

   График — точки $$\bigl(2\pi k,\,0\bigr)$$, $$k\in\mathbb Z$$.

6. $$y=\dfrac{\sin x}{|\sin x|}$$

   Выражение имеет смысл при $$\sin x\ne 0$$.

   Если $$\sin x>0$$, то

   $$y=\dfrac{\sin x}{\sin x}=1.$$

   Если $$\sin x<0$$, то

   $$y=\dfrac{\sin x}{-\sin x}=-1.$$

   Следовательно,

   $$ y= \begin{cases} 1, & \sin x>0,\\ -1, & \sin x<0. \end{cases} $$

   При $$\sin x=0$$ функция не определена.

Ответ

1) $$y=\sin x$$ при $$\sin x\ge 0$$;
2) $$y=0$$ при $$x<0$$, $$y=2\sin x$$ при $$x\ge 0$$;
3) $$y=2\cos x$$ при $$\cos x\ge 0$$, $$y=0$$ при $$\cos x<0$$;
4) $$y=0$$ при $$x=\pi k,\ k\in\mathbb Z$$;
5) $$y=0$$ при $$x=2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$;
6) $$y=1$$ при $$\sin x>0$$, $$y=-1$$ при $$\sin x<0$$, $$\sin x\ne 0$$.