Упр.18.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Постройте график функции: 1) $$y=(\sqrt{\sin x})^2$$; 3) $$y=\cos x+\sqrt{\cos^2 x}$$; 5) $$y=\sqrt{\cos x-1}$$; 2) $$y=\sin x+\sin|x|$$; 4) $$y=\sqrt{-\sin^2 x}$$; 6) $$y=\frac{\sin x}{|\sin x|}$$.

1) $$y=(\sqrt{\sin x})^2=|\sin x|.$$

Выражение имеет смысл при $$\sin x\ge 0.$$ Тогда $$y=|\sin x|=\sin x.$$

Значит, график совпадает с графиком функции $$y=\sin x$$ на тех промежутках, где $$\sin x\ge 0,$$ и отражается вверх относительно оси $$Ox$$ на промежутках, где $$\sin x<0.$$

2) $$y=\sin x+\sin|x|.$$

Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ поэтому

$$y=\sin x+\sin x=2\sin x.$$

Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и

$$y=\sin x+\sin(-x)=\sin x-\sin x=0.$$

Следовательно,

$$y= \begin{cases} 0, & x<0,\\ 2\sin x, & x\ge 0. \end{cases}$$

3) $$y=\cos x+\sqrt{\cos^2 x}=\cos x+|\cos x|.$$

Если $$\cos x\ge 0,$$ то

$$y=\cos x+\cos x=2\cos x.$$

Если $$\cos x<0,$$ то

$$y=\cos x-\cos x=0.$$

Значит,

$$y= \begin{cases} 2\cos x, & \cos x\ge 0,\\ 0, & \cos x<0. \end{cases}$$

4) $$y=\sqrt{-\sin^2 x}.$$

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$-\sin^2 x\ge 0.$$

Так как $$\sin^2 x\ge 0,$$ то возможно только $$\sin^2 x=0,$$ то есть

$$\sin x=0.$$

Тогда $$y=\sqrt{0}=0.$$

Следовательно, график состоит из точек $$\bigl(\pi k,\,0\bigr),\ k\in\mathbb Z.$$

5) $$y=\sqrt{\cos x-1}.$$

Область определения задаётся условием

$$\cos x-1\ge 0,$$

то есть

$$\cos x\ge 1.$$

Это возможно только при $$\cos x=1,$$ значит,

$$x=2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$y=\sqrt{1-1}=0.$$

График — точки $$\bigl(2\pi k,\,0\bigr),\ k\in\mathbb Z.$$

6) $$y=\dfrac{\sin x}{|\sin x|}.$$

Выражение имеет смысл при $$\sin x\ne 0,$$ то есть при $$x\ne \pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

Если $$\sin x>0,$$ то $$|\sin x|=\sin x,$$ и

$$y=\dfrac{\sin x}{\sin x}=1.$$

Если $$\sin x<0,$$ то $$|\sin x|=-\sin x,$$ и

$$y=\dfrac{\sin x}{-\sin x}=-1.$$

Следовательно,

$$y= \begin{cases} 1, & \sin x>0,\\ -1, & \sin x<0, \end{cases} \qquad x\ne \pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$y=|\sin x|.$$
2) $$y=\begin{cases}0, & x<0,\\ 2\sin x, & x\ge 0.\end{cases}$$
3) $$y=\begin{cases}2\cos x, & \cos x\ge 0,\\ 0, & \cos x<0.\end{cases}$$
4) $$y=0,\ x=\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
5) $$y=0,\ x=2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
6) $$y=\begin{cases}1, & \sin x>0,\\ -1, & \sin x<0,\end{cases}\ x\ne \pi k,\ k\in\mathbb Z.$$