Упр.17.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Найдите область значений функции: 1) $$f(x)=x^2+2$$; 3) $$f(x)=2\sqrt{x+3}$$; 2) $$f(x)=x^2+2x$$; 4) $$f(x)=4-3\sqrt{x}$$.

1) $$f(x)=x^2+2$$

Так как $$x^2 \ge 0,$$ то

$$x^2+2 \ge 2.$$

Следовательно, область значений функции:

$$y \in [2;+\infty).$$

2) $$f(x)=x^2+2x$$

Приведём к виду полного квадрата:

$$x^2+2x=(x+1)^2-1.$$

Так как $$\,(x+1)^2 \ge 0,$$ то

$$f(x)\ge -1.$$

Следовательно, область значений функции:

$$y \in [-1;+\infty).$$

3) $$f(x)=2\sqrt{x+3}$$

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$x+3 \ge 0.$$

Кроме того, $$\sqrt{x+3}\ge 0,$$ значит

$$2\sqrt{x+3}\ge 0.$$

Следовательно, область значений функции:

$$y \in [0;+\infty).$$

4) $$f(x)=4-3\sqrt{x}$$

Так как $$\sqrt{x}\ge 0,$$ то

$$-3\sqrt{x}\le 0.$$

Тогда

$$4-3\sqrt{x}\le 4.$$

Следовательно, область значений функции:

$$y \in (-\infty;4].$$

Ответ

1) $$[2;+\infty)$$; 2) $$[-1;+\infty)$$; 3) $$[0;+\infty)$$; 4) $$(-\infty;4]$$.