Упр.17.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Докажите, что числа $$\frac{2\pi}{3}$$ и $$-4\pi$$ являются периодами функции $$f(x)=\cos 3x$$.

Дана функция $$f(x)=\cos 3x.$$

1. Докажем, что число $$T=\frac{2\pi}{3}$$ является периодом функции:

   $$f\left(x-T\right)=\cos 3\left(x-\frac{2\pi}{3}\right)=\cos(3x-2\pi)=\cos 3x=f(x),$$
   $$f\left(x+T\right)=\cos 3\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)=\cos(3x+2\pi)=\cos 3x=f(x).$$

   Следовательно, $$f(x-T)=f(x)=f(x+T).$$

2. Докажем, что число $$T=-4\pi$$ является периодом функции:

   $$f\left(x-T\right)=\cos 3(x+4\pi)=\cos(3x+12\pi)=\cos 3x=f(x),$$
   $$f\left(x+T\right)=\cos 3(x-4\pi)=\cos(3x-12\pi)=\cos 3x=f(x).$$

   Следовательно, $$f(x-T)=f(x)=f(x+T).$$

Оба числа являются периодами функции, что и требовалось доказать.