Упр.17.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 17.6. Докажите, что числа 2?/3 и -4? являются периодами функции f(x)=cos 3x.

Дана функция $$f(x)=\cos 3x.$$

Докажем, что число $$T=\frac{2\pi}{3}$$ является её периодом:

$$ f(x-T)=\cos 3\left(x-\frac{2\pi}{3}\right)=\cos(3x-2\pi)=\cos 3x=f(x), $$
$$ f(x+T)=\cos 3\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)=\cos(3x+2\pi)=\cos 3x=f(x). $$

Следовательно, $$f(x-T)=f(x)=f(x+T)$$, значит, $$\frac{2\pi}{3}$$ — период функции.

Докажем, что число $$T=-4\pi$$ также является её периодом:

$$ f(x-T)=\cos 3(x+4\pi)=\cos(3x+12\pi)=\cos 3x=f(x), $$
$$ f(x+T)=\cos 3(x-4\pi)=\cos(3x-12\pi)=\cos 3x=f(x). $$

Значит, $$f(x-T)=f(x)=f(x+T)$$, поэтому $$-4\pi$$ — период функции.

Ответ

$$\frac{2\pi}{3}$$ и $$-4\pi$$ являются периодами функции $$f(x)=\cos 3x.$$