Упр.17.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) f(x)=cos(x/4), T=8?; 3) f(x)=ctg(?x), T=3;
2) f(x)=tg(3x), T=-2?/3; 4) f(x)=sin(5x-2), T=4?/5.

1. $$f(x)=\cos\frac{x}{4}, \quad T=8\pi.$$

   Проверим:

   $$ f(x-T)=\cos\frac{x-8\pi}{4}=\cos\left(\frac{x}{4}-2\pi\right)=\cos\frac{x}{4}=f(x), $$

   $$ f(x+T)=\cos\frac{x+8\pi}{4}=\cos\left(\frac{x}{4}+2\pi\right)=\cos\frac{x}{4}=f(x). $$

   Следовательно, $$f(x-T)=f(x)=f(x+T)$$, значит, $$T=8\pi$$ — период функции.

2. $$f(x)=\tg 3x, \quad T=-\frac{2\pi}{3}.$$

   Проверим:

   $$ f(x-T)=\tg\left(3\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)\right)=\tg(3x+2\pi)=\tg 3x=f(x), $$

   $$ f(x+T)=\tg\left(3\left(x-\frac{2\pi}{3}\right)\right)=\tg(3x-2\pi)=\tg 3x=f(x). $$

   Значит, $$T=-\frac{2\pi}{3}$$ — период функции.

3. $$f(x)=\ctg(\pi x), \quad T=3.$$

   Проверим:

   $$ f(x-T)=\ctg\bigl(\pi(x-3)\bigr)=\ctg(\pi x-3\pi)=\ctg(\pi x)=f(x), $$

   $$ f(x+T)=\ctg\bigl(\pi(x+3)\bigr)=\ctg(\pi x+3\pi)=\ctg(\pi x)=f(x). $$

   Следовательно, $$T=3$$ — период функции.

4. $$f(x)=\sin(5x-2), \quad T=\frac{4\pi}{5}.$$

   Проверим:

   $$ f(x-T)=\sin\left(5\left(x-\frac{4\pi}{5}\right)-2\right)=\sin(5x-2-4\pi)=\sin(5x-2)=f(x), $$

   $$ f(x+T)=\sin\left(5\left(x+\frac{4\pi}{5}\right)-2\right)=\sin(5x-2+4\pi)=\sin(5x-2)=f(x). $$

   Значит, $$T=\frac{4\pi}{5}$$ — период функции.

Ответ

1) $$8\pi$$; 2) $$-\frac{2\pi}{3}$$; 3) $$3$$; 4) $$\frac{4\pi}{5}$$.