Упр.16.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) 3sin(-45°)+cos(-45°)+2sin(-30°)+6cos(-60°);
2) sin^2(-60°)+cos^2(-30°);
3) 2tg(-?/4)ctg(-?/6)+3sin(-?/2)+4cos(-?/6).

1. $$3\sin(-45^\circ)+\cos(-45^\circ)+2\sin(-30^\circ)+6\cos(-60^\circ)$$

   Используем свойства чётности и нечётности тригонометрических функций:
   $$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha,\quad \cos(-\alpha)=\cos\alpha.$$

   Тогда
   $$ -3\sin45^\circ+\cos45^\circ-2\sin30^\circ+6\cos60^\circ $$
   $$ =-3\cdot\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}-2\cdot\frac12+6\cdot\frac12 $$
   $$ =-2\cdot\frac{\sqrt2}{2}-1+3=2-\sqrt2. $$

2. $$\sin^2(-60^\circ)+\cos^2(-30^\circ)$$

   Так как $$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha,$$ а $$\cos(-\alpha)=\cos\alpha,$$ получаем:
   $$ \sin^2(-60^\circ)+\cos^2(-30^\circ)=(-\sin60^\circ)^2+\cos^2 30^\circ $$
   $$ =\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2 =\frac34+\frac34=\frac64=\frac32. $$

3. $$2\tg\left(-\frac{\pi}{4}\right)\ctg\left(-\frac{\pi}{6}\right)+3\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)+4\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)$$

   Используем значения тригонометрических функций:
   $$ \tg\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1,\quad \ctg\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\ctg\frac{\pi}{6}=-\sqrt3, $$
   $$ \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1,\quad \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}. $$

   Тогда
   $$ 2\cdot(-1)\cdot(-\sqrt3)+3\cdot(-1)+4\cdot\frac{\sqrt3}{2} $$
   $$ =2\sqrt3-3+2\sqrt3=4\sqrt3-3. $$

Ответ

1) $$2-\sqrt2$$; 2) $$\frac32$$; 3) $$4\sqrt3-3$$.