Упр.16.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) f(x)=(tg x)/x; 4) f(x)=(x sin x)/(1-cos x);
2) f(x)=(1-cos x)/(1+cos x); 5) f(x)=((x-1)cos x)/(x-1);
3) f(x)=x^3+cos x; 6) f(x)=(x^3 sin x)/x.
$$f(x)=\frac{\tg x}{x}$$
Область определения: $$x\ne 0,$$ $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in \mathbb{Z}.$$ Она симметрична относительно нуля.
Проверим чётность:
$$f(-x)=\frac{\tg(-x)}{-x}=\frac{-\tg x}{-x}=\frac{\tg x}{x}=f(x).$$
Функция чётная.
$$f(x)=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}$$
Область определения: $$1+\cos x\ne 0,$$ то есть $$\cos x\ne -1,$$ $$x\ne \pi+2\pi n,\ n\in \mathbb{Z}.$$ Она симметрична относительно нуля.
Проверим чётность:
$$f(-x)=\frac{1-\cos(-x)}{1+\cos(-x)}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}=f(x).$$
Функция чётная.
$$f(x)=x^3+\cos x$$
Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Проверим чётность:
$$f(-x)=(-x)^3+\cos(-x)=-x^3+\cos x.$$
Так как $$f(-x)\ne f(x)$$ и $$f(-x)\ne -f(x),$$ функция ни чётная, ни нечётная.
$$f(x)=\frac{x\sin x}{1-\cos x}$$
Область определения: $$1-\cos x\ne 0,$$ то есть $$\cos x\ne 1,$$ $$x\ne 2\pi n,\ n\in \mathbb{Z}.$$ Она симметрична относительно нуля.
Проверим чётность:
$$f(-x)=\frac{(-x)\sin(-x)}{1-\cos(-x)}=\frac{(-x)(-\sin x)}{1-\cos x}=\frac{x\sin x}{1-\cos x}=f(x).$$
Функция чётная.
$$f(x)=\frac{(x-1)\cos x}{x-1}$$
При $$x\ne 1$$ имеем $$f(x)=\cos x.$$
Область определения: $$x\ne 1.$$ Она не симметрична относительно нуля, так как вместе с числом $$1$$ не входит число $$-1.$$
Следовательно, функция ни чётная, ни нечётная.
$$f(x)=\frac{x^3\sin x}{x}$$
При $$x\ne 0$$ имеем $$f(x)=x^2\sin x.$$
Область определения: $$x\ne 0.$$ Она симметрична относительно нуля.
Проверим чётность:
$$f(-x)=(-x)^2\sin(-x)=x^2(-\sin x)=-x^2\sin x=-f(x).$$
Функция нечётная.
Ответ
1) чётная; 2) чётная; 3) ни чётная, ни нечётная; 4) чётная; 5) ни чётная, ни нечётная; 6) нечётная.
