Упр.16.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Исследуйте на чётность функцию: 1) $$f(x)=\frac{\operatorname{tg} x}{x}$$; 4) $$f(x)=\frac{x\sin x}{1-\cos x}$$; 2) $$f(x)=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}$$; 5) $$f(x)=\frac{(x-1)\cos x}{x-1}$$; 3) $$f(x)=x^3+\cos x$$; 6) $$f(x)=\frac{x^3\sin x}{x}$$.
1) $$f(x)=\frac{\tg x}{x}$$
Область определения функции:
$$x\ne 0,\qquad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
Проверим чётность:
$$f(-x)=\frac{\tg(-x)}{-x}=\frac{-\tg x}{-x}=\frac{\tg x}{x}=f(x).$$
Функция чётная.
2) $$f(x)=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}$$
Область определения функции:
$$1+\cos x\ne 0,\qquad \cos x\ne -1,\qquad x\ne \pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
Проверим чётность:
$$f(-x)=\frac{1-\cos(-x)}{1+\cos(-x)}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}=f(x).$$
Функция чётная.
3) $$f(x)=x^3+\cos x$$
Область определения функции:
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Проверим чётность:
$$f(-x)=(-x)^3+\cos(-x)=-x^3+\cos x.$$
Это не равно ни $$f(x)=x^3+\cos x,$$ ни $$-f(x)=-x^3-\cos x.$$
Функция ни чётная, ни нечётная.
4) $$f(x)=\frac{x\sin x}{1-\cos x}$$
Область определения функции:
$$1-\cos x\ne 0,\qquad \cos x\ne 1,\qquad x\ne 2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
Проверим чётность:
$$f(-x)=\frac{(-x)\sin(-x)}{1-\cos(-x)}=\frac{(-x)(-\sin x)}{1-\cos x}=\frac{x\sin x}{1-\cos x}=f(x).$$
Функция чётная.
5) $$f(x)=\frac{(x-1)\cos x}{x-1}$$
Область определения функции:
$$x-1\ne 0,\qquad x\ne 1.$$
На области определения функция равна $$\cos x,$$ но её область определения не симметрична относительно нуля.
Функция ни чётная, ни нечётная.
6) $$f(x)=\frac{x^3\sin x}{x}$$
Область определения функции:
$$x\ne 0.$$
Упростим:
$$f(x)=x^2\sin x.$$
Проверим чётность:
$$f(-x)=(-x)^2\sin(-x)=x^2(-\sin x)=-x^2\sin x=-f(x).$$
Функция нечётная.
Ответ
1) чётная; 2) чётная; 3) ни чётная, ни нечётная; 4) чётная; 5) ни чётная, ни нечётная; 6) нечётная.
