Упр.16.19 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Найдите множество решений неравенства:
   1) $$\frac{x^2-2x}{x+2}\ ?\ 3$$;
   2) $$\frac{x^2+3x}{x-3}\ ?\ -2$$;
   3) $$(x+1)(x-2)(x+3)^2>0$$;
   4) $$(x+2)(x-1)(x-3)^2\ ?\ 0$$.

1) $$\frac{x^2-2x}{x+2}\le 3$$

Перенесём $$3$$ в левую часть:

$$\frac{x^2-2x-3(x+2)}{x+2}\le 0$$

$$\frac{x^2-5x-6}{x+2}\le 0$$

$$\frac{(x+1)(x-6)}{x+2}\le 0$$

Критические точки: $$x=-2,\,-1,\,6.$$

По знакам получаем:

$$x\in(-\infty;\,-2)\cup[-1;\,6].$$

2) $$\frac{x^2+3x}{x-3}\ge -2$$

Перенесём $$-2$$ в левую часть:

$$\frac{x^2+3x+2(x-3)}{x-3}\ge 0$$

$$\frac{x^2+5x-6}{x-3}\ge 0$$

$$\frac{(x+6)(x-1)}{x-3}\ge 0$$

Критические точки: $$x=-6,\,1,\,3.$$

По знакам получаем:

$$x\in[-6;\,1]\cup(3;\,+\infty).$$

3) $$\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x+3\right)^2>0$$

Так как $$\left(x+3\right)^2\ge 0,$$ то произведение положительно тогда и только тогда, когда

$$\left(x+1\right)\left(x-2\right)>0,\quad x\ne -3.$$

Решаем неравенство:

$$x\in(-\infty;\,-3)\cup(-3;\,-1)\cup(2;\,+\infty).$$

4) $$\left(x+2\right)\left(x-1\right)\left(x-3\right)^2\le 0$$

Так как $$\left(x-3\right)^2\ge 0,$$ то нужно, чтобы

$$\left(x+2\right)\left(x-1\right)\le 0,\quad x=3$$

или чтобы произведение было равно нулю при $$x=3.$$

Решаем неравенство:

$$x\in[-2;\,1].$$

Также $$x=3$$ подходит, так как обращает всё произведение в нуль.

Итак,

$$x\in[-2;\,1]\cup\{3\}.$$

Ответ

1) $$(-\infty;\,-2)\cup[-1;\,6]$$

2) $$[-6;\,1]\cup(3;\,+\infty)$$

3) $$(-\infty;\,-3)\cup(-3;\,-1)\cup(2;\,+\infty)$$

4) $$[-2;\,1]\cup\{3\}$$