Упр.16.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=tg x+ctg x; 4) f(x)=(tg^2 x)/(x^3-1);
2) f(x)=(sin x+tg x)/(sin x-tg x); 5) f(x)=cos x+?/3;
3) f(x)=(cos x)/(x^2 -1); 6) f(x)=((x^2-1)ctg x)/(x^2-1).

Подробный ответ

$$f(x)=\tg x+\ctg x.$$
Область определения:
$$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x\ne \pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$
Она симметрична относительно нуля. Тогда
$$f(-x)=\tg(-x)+\ctg(-x)=-\tg x-\ctg x=-f(x).$$
Следовательно, функция нечётная.
$$f(x)=\frac{\sin x+\tg x}{\sin x-\tg x}.$$
Область определения:
$$\sin x-\tg x\ne 0,\quad \sin x\ne 0,\quad x\ne \pi n,\quad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$
Область определения симметрична. Найдём:
$$f(-x)=\frac{\sin(-x)+\tg(-x)}{\sin(-x)-\tg(-x)}=\frac{-\sin x-\tg x}{-\sin x+\tg x}=\frac{\sin x+\tg x}{\sin x-\tg x}=f(x).$$
Следовательно, функция чётная.
$$f(x)=\frac{\cos x}{x^2-1}.$$
Область определения:
$$x^2-1\ne 0,\quad x\ne \pm 1.$$
Она симметрична относительно нуля. Тогда
$$f(-x)=\frac{\cos(-x)}{(-x)^2-1}=\frac{\cos x}{x^2-1}=f(x).$$
Следовательно, функция чётная.
$$f(x)=\frac{\tg^2 x}{x^3-1}.$$
Область определения:
$$x^3-1\ne 0,\quad x\ne 1,\quad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$
Область определения не симметрична относительно нуля, значит функция не может быть ни чётной, ни нечётной.
$$f(x)=\cos x+\frac{\pi}{3}.$$
Область определения:
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Найдём значение при $-x$:
$$f(-x)=\cos(-x)+\frac{\pi}{3}=\cos x+\frac{\pi}{3}=f(x).$$
Следовательно, функция чётная.
$$f(x)=\frac{(x^2-1)\ctg x}{x^2-1}=\ctg x.$$
Область определения исходной функции:
$$x^2-1\ne 0,\quad x\ne \pm 1,\quad x\ne \pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$
Она симметрична относительно нуля. Тогда
$$f(-x)=\ctg(-x)=-\ctg x=-f(x).$$
Следовательно, функция нечётная.