Упр.15.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Укажите наибольшее и наименьшее значения выражения:
   1) $$3\sin a$$; 3) $$2-\sin a$$; 5) $$\sin^2 a$$; 2) $$4+\cos a$$; 4) $$6-2\cos a$$; 6) $$2\cos^2 a-3$$.

Используем тот факт, что для любого $$a$$ выполняются неравенства $$-1 \le \sin a \le 1$$ и $$-1 \le \cos a \le 1$$.

1. $$-1 \le \sin a \le 1$$

   Умножим на $$3$$:

   $$-3 \le 3\sin a \le 3$$

   Наименьшее значение: $$-3$$, наибольшее значение: $$3$$.

2. $$-1 \le \cos a \le 1$$

   Прибавим $$4$$:

   $$3 \le 4+\cos a \le 5$$

   Наименьшее значение: $$3$$, наибольшее значение: $$5$$.

3. $$-1 \le \sin a \le 1$$

   Умножим на $$-1$$ и изменим знаки неравенств:

   $$-1 \le -\sin a \le 1$$

   Прибавим $$2$$:

   $$1 \le 2-\sin a \le 3$$

   Наименьшее значение: $$1$$, наибольшее значение: $$3$$.

4. $$-1 \le \cos a \le 1$$

   Умножим на $$-2$$ и изменим знаки неравенств:

   $$-2 \le -2\cos a \le 2$$

   Прибавим $$6$$:

   $$4 \le 6-2\cos a \le 8$$

   Наименьшее значение: $$4$$, наибольшее значение: $$8$$.

5. Так как $$-1 \le \sin a \le 1$$, то

   $$0 \le \sin^2 a \le 1$$

   Наименьшее значение: $$0$$, наибольшее значение: $$1$$.

6. Так как $$-1 \le \cos a \le 1$$, то

   $$0 \le \cos^2 a \le 1$$

   Умножим на $$2$$ и вычтем $$3$$:

   $$-3 \le 2\cos^2 a-3 \le -1$$

   Наименьшее значение: $$-3$$, наибольшее значение: $$-1$$.

Ответ: 1) $$-3$$ и $$3$$; 2) $$3$$ и $$5$$; 3) $$1$$ и $$3$$; 4) $$4$$ и $$8$$; 5) $$0$$ и $$1$$; 6) $$-3$$ и $$-1$$.