Упр.15.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 15.20. Докажите, что sin a=-cos(Пи/2+a).

Подробный ответ

Рассмотрим единичную окружность с центром в точке $$O$$. Пусть точка $$A$$ соответствует углу $$a$$, а точка $$A_1$$ — углу $$\frac{\pi}{2}+a$$.

Тогда в прямоугольных треугольниках $$AOB$$ и $$A_1OB_1$$ имеем:

$$\angle AOB=a,$$
$$\angle AOB=90^\circ-a,$$
$$\angle A_1OB_1=180^\circ-\angle BOA_1=180^\circ-\left(90^\circ+a\right)=90^\circ-a,$$
$$\angle OA_1B_1=90^\circ-\angle A_1OB_1=90^\circ-\left(90^\circ-a\right)=a.$$

Кроме того, $$OA=OA_1=1$$. Значит, треугольники $$AOB$$ и $$A_1OB_1$$ равны по второму признаку, поэтому

$$AB=OB_1,$$

откуда

$$|\sin a|= \left|\cos\left(\frac{\pi}{2}+a\right)\right|.$$

Так как точка $$A_1$$ лежит во второй четверти, то $$\cos\left(\frac{\pi}{2}+a\right)<0$$, а $$\sin a>0$$ для соответствующего положения точки $$A$$. Следовательно,

$$\sin a=-\cos\left(\frac{\pi}{2}+a\right).$$