Упр.15.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Докажите, что $$\sin a=-\cos\left(\frac{\pi}{2}+a\right)$$.

Рассмотрим единичную окружность. Пусть точка $$A$$ соответствует повороту точки $$O(1;0)$$ на угол $$a$$, а точка $$A_1$$ — повороту на угол $$\frac{\pi}{2}+a$$.

Тогда в прямоугольных треугольниках $$AOB$$ и $$A_1OB_1$$ имеем:

$$\angle AOB=a,$$
$$\angle AOB=90^\circ-a,$$
$$\angle A_1OB_1=180^\circ-\angle BOA_1=180^\circ-(90^\circ+a)=90^\circ-a,$$
$$\angle OA_1B_1=90^\circ-\angle A_1OB_1=90^\circ-(90^\circ-a)=a.$$

Кроме того, $$OA=OA_1=1$$. Значит, треугольники $$AOB$$ и $$A_1OB_1$$ равны по второму признаку, поэтому

$$AB=OB_1.$$

Следовательно,

$$|\sin a|=|\cos\left(\frac{\pi}{2}+a\right)|.$$

Так как точка $$A_1$$ всегда лежит во второй четверти, то $$\cos\left(\frac{\pi}{2}+a\right)$$ отрицателен, а $$\sin a$$ имеет противоположный знак. Поэтому

$$\sin a=-\cos\left(\frac{\pi}{2}+a\right).$$

Ответ: $$\sin a=-\cos\left(\frac{\pi}{2}+a\right).$$