Упр.15.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ возможно равенство:

1. $$\sin x=a-2$$;
2. $$\cos x=a^2-3$$;
3. $$\cos x=a^2+2$$;
4. $$\sin x=2a-a^2-2$$?

1) Для существования решений уравнения $$\sin x=a-2$$ нужно, чтобы правая часть принадлежала отрезку $$[-1;1]$$:

$$-1\le a-2\le 1$$

$$1\le a\le 3$$

Ответ: $$a\in[1;3].$$

2) Для уравнения $$\cos x=a^2+2$$ необходимо:

$$-1\le a^2+2\le 1$$

Но из неравенства $$-1\le a^2+2$$ оно выполняется всегда, а из $$a^2+2\le 1$$ получаем

$$a^2\le -1,$$

что невозможно.

Ответ: решений нет, $$a\notin\varnothing.$$

3) Для уравнения $$\cos x=a^2-3$$ нужно:

$$-1\le a^2-3\le 1$$

Решим систему неравенств:

$$-1\le a^2-3 \;\Rightarrow\; a^2\ge 2 \;\Rightarrow\; a\le -\sqrt2 \text{ или } a\ge \sqrt2,$$

$$a^2-3\le 1 \;\Rightarrow\; a^2\le 4 \;\Rightarrow\; -2\le a\le 2.$$

Пересечение этих множеств:

$$a\in[-2;-\sqrt2]\cup[\sqrt2;2].$$

Ответ: $$a\in[-2;-\sqrt2]\cup[\sqrt2;2].$$

4) Для уравнения $$\sin x=2a-a^2-2$$ необходимо:

$$-1\le 2a-a^2-2\le 1$$

Из левой части:

$$2a-a^2-2\ge -1$$

$$a^2-2a+1\le 0$$

$$\left(a-1\right)^2\le 0$$

Отсюда

$$a=1.$$

Проверим правую часть при $$a=1$$:

$$2\cdot1-1^2-2=-1,$$

что подходит.

Ответ: $$a=1.$$