Упр.15.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) sin x=a-2; 3) cos x=a^2-3;
2) cos x=a^2+2; 4) sin x=2a-a^2-2?

1. $$\sin x=a-2$$

   Чтобы уравнение имело решение, правая часть должна принадлежать промежутку $$[-1;1]$$:

   $$-1\le a-2\le 1$$

   $$1\le a\le 3$$

   Ответ: $$a\in[1;3]$$.

2. $$\cos x=a^2+2$$

   Для существования решения нужно:

   $$-1\le a^2+2\le 1$$

   $$-3\le a^2\le -1$$

   Но $$a^2\ge 0$$ при любых действительных $$a$$, значит таких значений нет.

   Ответ: $$\varnothing$$.

3. $$\cos x=a^2-3$$

   Необходимо, чтобы

   $$-1\le a^2-3\le 1$$

   Решим по частям:

   $$-1\le a^2-3 \Rightarrow a^2\ge 2 \Rightarrow a\le -\sqrt2 \text{ или } a\ge \sqrt2$$

   $$a^2-3\le 1 \Rightarrow a^2\le 4 \Rightarrow -2\le a\le 2$$

   Пересечение этих условий:

   $$a\in[-2;-\sqrt2]\cup[\sqrt2;2]$$

   Ответ: $$a\in[-2;-\sqrt2]\cup[\sqrt2;2]$$.

4. $$\sin x=2a-a^2-2$$

   Нужно, чтобы

   $$-1\le 2a-a^2-2\le 1$$

   Рассмотрим неравенства отдельно.

   1) $$2a-a^2-2\ge -1$$

   $$-a^2+2a-1\ge 0$$

   $$a^2-2a+1\le 0$$

   $$\left(a-1\right)^2\le 0$$

   Отсюда $$a=1$$.

   2) $$2a-a^2-2\le 1$$

   $$-a^2+2a-3\le 0$$

   $$a^2-2a+3\ge 0$$

   Дискриминант:

   $$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 3=4-12=-8<0$$

   Следовательно, неравенство выполняется при всех действительных $$a$$.

   Итак, подходит только $$a=1$$.

   Ответ: $$a\in\{1\}$$.